Курс чистой математики.   Г.Х. Харди.

2-е,

стереотипное,

издание этой книги

вышло в 2006году,

его обложка

выглядит

уже так:

Пер. с англ. - М.: Изд-во Иностранной литературы, 1949 - 512с. 

Книга выдающегося английского математика, профессора Кембриджского университета Годфри Гарольда Харди (1877--1947) содержит основные положения математического анализа, разобранные с исчерпывающей полнотой и всей необходимой математической строгостью. В нее также включено большое количество интересных задач и примеров, представляющих собой хороший материал для самостоятельной проработки важнейших положений анализа.

Рекомендуется математикам -- преподавателям математического анализа и студентам первых курсов естественных вузов.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,6 Мб

Скачать / Download файл     Скачать  

Из предисловия автора к первому изданию

Эта книга написана в первую очередь для студентов первых курсов университетов, способности которых приближаются к тому уровню, который обычно требуется для получения стипендии. Я надеюсь, что она окажется полезной и для другого круга читателей, но в основном я учитывал интересы именно этого круга. Во всяком случае эта книга написана для математиков; я нигде не пытался идти навстречу студентам технических специальностей, и вообще не принимал во внимание запросов тех читателей, чьи интересы не являются в первую очередь математическими.

Я рассматриваю эту книгу как действительно элементарную. В ней содержится много трудных примеров (преимущественно в конце глав); такие примеры я снабжал, где это было возможно с точки зрения объема, указаниями к решению. Но я всячески старался избегать действительно трудных понятий. Например, равномерная сходимость, двойные ряды, бесконечные произведения даже не упоминаются в этой книге; я не доказываю никаких общих теорем относительно перестановки предельных переходов. В последних двух главах иногда интегрируется степенной ряд, но я ограничиваюсь только простейшими случаями и для каждого из них провожу специальное исследование.
Сентябрь 1908 г.

Предисловие автора к седьмому изданию

В этом издании книга подверглась самым серьезным изменениям со времени второго издания. Я воспользовался тем, что книга заново набиралась, и это дало мне возможность свободно изменять ее содержание.

Бывшее Приложение II (относительно обозначений "О, о и tilde") я включил в соответствующих местах в текст книги. Заново написаны части глав VI и VII, относящиеся к элементарным свойствам производных. Здесь я следую курсу де ла Валле-Пуссена; эта часть книги несомненно значительно улучшена. Эти важные изменения повлекли за собой, конечно, много других более мелких исправлений.

Я включил большое число новых примеров из числа задач, предлагавшихся на экзаменах в Кэмбридже за последние 20 лет, которые будут полезны кэмбриджским студентам. Эти задачи были подобраны для меня Лявом (E.R.Love), который прочел также все гранки и исправил много ошибок.

Общий план книги остался без изменений. Внимательно перечитывая книгу впервые за 20 лет, я неоднократно испытывал желание произвести в ней более радикальные изменения как в содержании, так и в стиле. Она была написана в то время, когда в Кэмбридже пренебрегали математическим анализом, и ее патетический стиль кажется теперь немного смешным. Если бы я переписал ее теперь, то я бы уже не писал (по выражению проф. Литтльвуда) как "проповедник, разговаривающий с каннибалами", а значительно суше и с соответствующей сдержанностью. Более того, я писал бы гораздо короче и смог бы включить значительно больше материала. Книга приняла бы характер обычного курса анализа.
Для такого начинания я не располагаю достаточным временем, и возможно, что это к лучшему, так как, вероятно, я написал бы значительно лучшую, но гораздо менее оригинальную книгу. Эта книга была бы не так полезна в качестве введения к руководствам по анализу, в которых теперь даже в Англии нет недостатка.
Ноябрь 1937 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Из предисловия автора к первому изданию

Предисловие автора к седьмому изданию

Предисловие автора к девятому изданию

ГЛАВА I. 

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

 

1-2

Рациональные числа

 

3-7

Иррациональные числа

 

8

Действительные числа

 

9

Соотношения величины между действительными числами

 

10-11

Алгебраические действия над действительными числами

 

12

Число sqrt(2)

 

13-14

Квадратичные иррациональности

 

15

Континуум

 

16

Непрерывное действительное переменное

 

17

Сечения в области действительных чисел. Теорема Дедекинда

 

18

Точки накопления

 

19

Теорема Вейерштрасса

 

Разные примеры

ГЛАВА II. 

ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

20

Понятие функции

 

21

Графическое представление функций. Координаты

 

22

Полярные координаты

 

23

Полиномы

 

24-25

Дробно-рациональные функции

 

26-27

Алгебраические функции

 

28-29

Трансцендентные функции

 

30

Графическое решение уравнений

 

31

Функции от двух переменных и их графическое представление

 

32

Кривые на плоскости

 

33

Геометрические места в пространстве

 

Разные примеры

ГЛАВА III. 

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

 

34-38

Смещения

 

39-42

Комплексные числа

 

43

Квадратное уравнение с действительными коэффициентами

 

44

Диаграмма Аргана

 

45

Теорема Муавра

 

46

Рациональные функции комплексного переменного

 

47-49

Корни из комплексных чисел

 

Разные примеры

ГЛАВА IV. 

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО АРГУМЕНТА

 

50

Функции целочисленного положительного аргумента

 

51

Интерполяция

 

52

Конечные и бесконечные классы

 

53-57

Свойства, которыми обладают функции от n для больших значений n

 

58-61

Определение предела и другие определения

 

62

Колеблющиеся функции

 

63-68

Общие теоремы о пределах

 

69-70

Монотонно возрастающие или убывающие функции

 

71

Другое доказательство теоремы Вейерштрасса

 

72

Предел xn

 

73

Предел (1 + 1/n)n

 

74

Некоторые алгебраические леммы

 

75

Предел n(sqrtnx - 1)

 

76-77

Бесконечные ряды

 

78

Бесконечная геометрическая прогрессия

 

79

Представление функций от непрерывного действительного переменного с помощью пределов

 

80

Грани ограниченной совокупности

 

81

Грани ограниченной функции

 

82

Верхний и нижний пределы ограниченной функции

 

83-84

Общий признак сходимости

 

85-86

Пределы комплексно-значных функций и ряды с комплексными членами

 

87-88

Приложения к zn и к геометрической прогрессии

 

89

Символы О, о, tilde

 

Разные примеры

ГЛАВА V. 

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ НЕПРЕРЫВНЭГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

 

90-92

Пределы при x --> oo или x --> --oo

 

93-97

Пределы при x --> a

 

98

Символы О и о, tilde: порядки малости и роста

 

99-100

Непрерывные функции действительного переменного

 

101-105

Свойства непрерывных функций. Ограниченные функции. Колебание функции в интервале

 

106-107

Системы интервалов на прямой. Теорема Гейне -- Бореля

 

108

Непрерывные функции нескольких переменных

 

109-110

Неявные и обратные функции

 

Разные примеры

ГЛАВА VI. 

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ

 

111-113

Производные

 

114

Общие правила дифференцирования

 

115

Производные комплексно-значных функций

 

116

Обозначения дифференциального исчисления

 

117

Дифференцирование многочленов

 

118

Дифференцирование дробно-рациональных функций

 

119

Дифференцирование алгебраических функций

 

120

Дифференцирование трансцендентных функций

 

121

Повторное дифференцирование

 

122

Общие теоремы о производных. Теорема Ролля

 

123-125

Максимумы и минимумы

 

126-127

Теорема о среднем значении

 

128

Теорема Коши о среднем значении

 

129

Теорема Дарбу

 

130-131

Интегрирование. Логарифмическая функция

 

132

Интегрирование многочленов

 

133-134

Интегрирование дробно-рациональных функций

 

135-142

Интегрирование алгебраических функций. Интегрирование рационализацией. Интегрирование по частям

 

143-147

Интегрирование трансцендентных функций v

 

148

Площади фигур, ограниченных плоскими кривыми

 

149

Длины плоских кривых

 

Разные примеры

ГЛАВА VII. 

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 

150-151

Теорема Тейлора

 

152

Ряд Тейлора

 

153

Приложения теоремы Тейлора к теории максимумов и минимумов

 

154

Вычисление некоторых пределов

 

155

Касание плоских кривых

 

156-158

Дифференцирование функций нескольких переменных

 

159

Теорема о среднем для функций двух переменных

 

160

Дифференциалы

 

161-162

Определенные интегралы

 

163

Тригонометрические функции

 

164

Вычисление определенного интеграла как предела суммы

 

165

Общие свойства определенного интеграла

 

166

Интегрирование по частям и подстановкой

 

167

Другое доказательство теоремы Тейлора

 

168

Приложение к биномиальному ряду

 

169

Приближенные формулы для определенных интегралов. Правило Симпсона

 

170

Интегралы от комплексно-значных функций

 

Разные примеры

ГЛАВА VIII. 

СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

171-174

Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Коши и Даламбера

 

175

Признаки, основанные на отношениях следующих друг за другом членов

 

176

Теорема Дирихле

 

177

Умножение рядов с положительными членами

 

178-180

Дальнейшие признаки сходимости. Теорема Абеля. Интегральный признак Маклорена

 

181

Ряды sum n--s

 

182

Признак сгущения Коши

 

183

Дальнейшие признаки, основанные на отношениях

 

184-189

Несобственные интегралы

 

190

Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены.

 

191-192

Абсолютно сходящиеся ряды

 

193-194

Условно сходящиеся ряды

 

195

Знакочередующиеся ряды

 

196

Признаки сходимости Абеля и Дирихле

 

197

Ряды с комплексными членами

 

198-201

Степенные ряды

 

202

Умножение рядов

 

203

Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы

 

Разные примеры

ГЛАВА IX. 

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

 

204-205

Логарифмическая функция

 

206

Функциональное уравнение для ln x

 

207-209

Поведение ln x при x стремящемся к бесконечности или к нулю

 

210

Логарифмическая шкала порядков роста

 

211

Число e

 

212-213

Показательная функция

 

214

Общая показательная функция ax

 

215

Представление ex в виде предела

 

216

Представление ln x в виде предела

 

217

Обыкновенные логарифмы

 

218

Логарифмические признаки сходимости

 

219

Экспоненциальный ряд

 

220

Логарифмический ряд

 

221

Ряд для arc tg x

 

222

Биномиальный ряд

 

223

Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций

 

224-226

Аналитическая теория тригонометрических функций

 

Разные примеры

ГЛАВА X. 

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

 

227-228

Функции комплексного переменного

 

229

Криволинейные интегралы

 

230

Определение логарифмической функции

 

231

Значения логарифмической функции

 

232-234

Показательная функция

 

235-236

Общая показательная функция а

 

237-240

Тригонометрические и гиперболические функции

 

241

Связь между логарифмической и обратными тригонометрическими функциями

 

242

Экспоненциальный ряд

 

243

Ряды для cos z и sin z

 

244-245

Логарифмический ряд

 

246

Представление показательной функции в виде предела

 

247

Биномиальный ряд

 

Разные примеры

Приложение I. Неравенства Гельдера и Минковского

Приложение II. Доказательство того, что каждое алгебраическое уравнение имеет по крайней мере один корень

Приложение III. Замечание о двойных предельных переходах

Приложение IV. Бесконечное в анализе и в геометрии


 


О том, как читать книги в форматах pdf, djvu - см. раздел "Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др."


 

 

 

Источник заимствования – www.alleng.ru

Полезные ресурсы