Математика переместительное свойство умножения

Математика: переместительное свойство умножения

Одно из важных правил, которые изучаются в 6 классе, — переместительное свойство умножения. В начальной школе на уроках математики ученикам объясняют, что от перестановки слагаемых сумма не изменится.

Переместительный закон умножения

Действительно, неважно: если у на столе лежат 3 красных карандаша, а к ним добавят еще 2, на столе окажется 5 карандашей. Если бы на столе лежало 2 карандаша, и к ним положили еще 3, итог оказался бы тем же:

Это переместительное свойство сложения. Запомнить его не составляет труда.

Умножение – более сложное действие, однако вычисления можно упростить, если использовать переместительное свойство умножения:

Переместительное свойство умножения — от перестановки множителей произведение не изменится: 2 · 3 = 3 · 2.

Программа изучения математики в 5 классе рассматривает переместительный закон умножения в буквенном обозначении:

a · b = b · a.

Правило можно применить по отношению к любым числам и к любому количеству чисел:

a · b · c = b · a · c

Применение переместительного закона умножения на практике

Переместительное свойство умножения поможет выбирать для вычисления более удобный способ.

Записав пример столбиком, получим:

Такое вычисление делать долго, да и запись имеет некрасивый вид.

Если записать пример иначе: 6 · 251 = 251 · 6 – решать будет проще:

Быстро и просто. Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее.

Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения:

Следовательно, переместительный закон сложения можно применить и на умножение, сделав и запись, и вычисление гораздо проще: вместо того, чтобы число 6 сложить друг с другом 251 раз, можно число 251 сложить с себе подобным 6 раз: 251 + 251 + 251 + 251 + 251 + 251 = 1506. Как не изменится в этом случае сумма, так неизменным будет и произведение: 6 · 251 = 251 · 6.

Сочетательный закон

Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:

  • получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;
  • раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.

Это сочетательный закон умножения:

a · (b · c) = (a · b) · c.

Пользоваться этим правилом удобно, если видно, что для простоты вычисления можно воспользоваться переместительным свойством умножения. На практике любое количество чисел можно переставлять, менять как угодно местами, чтобы считать было легче.

Важно! Применять переместительное и сочетательное свойства умножения можно для облегчения сложных вычислений.

Распределительный закон

На уроках математики в 6 классе изучают еще два правила, которые облегчают решение сложных примеров. Если необходимо умножить число на сумму чисел, необходимо раскрыть скобки:

a · (b + c) = a · b + a · c

Это – распределительный закон умножения относительно сложения.

Для задач на вычитание действует свой закон:

a · (b – c) = a · b – a · c

Распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания применять удобно как в случае наличия одинаковых множителей, который можно вынести за скобки, так и для упрощения выражения, если в задаче присутствуют 2 неизвестных:

2 · (3х + 4у) = 2 · 3х + 2 · 4у = 6х + 8у

5 · (2х – 3у) = 5 · 2х – 5 · 3у = 10х – 15у.

Все вышеперечисленные законы, позволяющие упростить вычисления, действуют для любого количества чисел и облегчают решение задач любой сложности. Их можно использовать как для целых, так и для дробных чисел. В этом случае распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания позволяет намного быстрее получить итог произведения натурального числа на смешанную дробь. Для этого нужно:

  • целую часть умножить на натуральное число;
  • дробную часть умножить на него же;
  • сложить получившиеся числа и записать результат.

Изучение распределительного закона умножения, применение переместительного и сочетательного свойств в 6 классе позволит позднее, при изучении алгебры проводить более сложные вычисления. Основы, заложенные сейчас, и умение выносить за скобки общий множитель или перераспределять множители, позволит упрощать выражения, быстро решать сложные задачи с натуральными числами и дробями – как простыми, так и смешанными.

Читайте также:  Загадки про школу и школьные принадлежности с ответами

Источник

Переместительное свойство умножение

Переместительное свойство умножения — полезное правило, не сложное для запоминания.

Переместительное свойство умножения (переместительный закон умножения).

От перестановки мест множителей произведение не изменяется.

С помощью букв переместительное свойство умножения записывают так:

\[a \cdot b = b \cdot a\]

Переместительное свойство умножения позволяет выбирать более удобный способ умножения чисел.

\[1)8 \cdot 6752\]

perestanovka mnozhiteley

При умножении 8 на 6752

ot perestanovki mnozhiteleyПрименяя переместительное свойство умножения,

изменим порядок умножения.

Умножать 6752 гораздо удобнее.

\[2)32 \cdot 547\]

peremestitelnyiy zakon umnozheniya

Как правило, умножать трехзначное

число на двухзначное

удобнее, чем наоборот.

peremestitelnoe svoystvo umnozheniya

Умножать числа в том порядке,

как они записаны в условии,

здесь не так удобно.

Таким образом, применение переместительного свойства умножения позволяет облегчить вычисления.

2 Comments

От перестановки множителей результат умножения не изменяется. А не от перестановки МЕСТ множителей…
Не места меняются, а множители местами.

Анастасия, речь идёт о смене мест множителей. А перестановка множителей подразумевает изменение множителей, а не их мест.

Источник

Свойства умножения и деления

Умножение — арифметическое действие, в котором участвуют два аргумента: множимый и множитель. Результат их умножения называется произведением.

Узнаем, какие бывают свойства умножения и как их применять.

Переместительное свойство умножения

От перестановки мест множителей произведение не меняется.

То есть, для любых чисел a и b верно равенство: a * b = b * a.

Это свойство можно применять к произведениям, в которых больше двух множителей.

  • 6 * 5 = 5 * 6 = 30;
  • 4 * 2 * 3 = 3 * 2 * 4 = 24.

Сочетательное свойство умножения

Произведение трех и более множителей не изменится, если какую-то группу множителей заменить их произведением.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c).

    3 * 2 * 5 = 3 * (2 * 5) = 3 * 10 = 30

Сочетательное свойство можно использовать, чтобы упростить вычисления при умножении. Например: 25 * 15 * 4 = (25 * 4) * 15 = 100 * 15 = 1500.

Если не применять сочетательное свойство и вычислять последовательно, решение будет значительно сложнее: 25 * 15 * 4 = (25 * 15) * 4 = 375 * 4 = 1500.

Распределительное свойство умножения относительно сложения

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a + b) * c = a * c + b * c.

Это свойство работает с любым количеством слагаемых: (a + b + с + d) * k = a * k + b * k + c * k + d * k.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно сложения звучит так:

Чтобы число умножить на сумму чисел, нужно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Распределительное свойство умножения относительно вычитания

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство: (a − b) * c = a * c − b * c.

В обратную сторону распределительное свойство умножения относительно вычитания звучит так:

Чтобы число умножить на разность чисел, нужно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Свойство нуля при умножении

Если в произведении хотя бы один множитель равен нулю, то само произведение будет равно нулю.

То есть, для любых чисел a, b и c верно равенство:
0 * a * b * c = 0.

Свойство единицы при умножении

Если умножить любое целое число на единицу, то в результате получится это же число.

То есть, умножение на единицу не изменяет умножаемое число: a * 1 = a.

Свойства деления

Деление — арифметическое действие обратное умножению. В результате деления получается число (частное), которое при умножении на делитель дает делимое.

Читайте также:  Генератор файла ответов для автоматизации установки Windows

Основные свойства деления целых чисел

  1. Деление на нуль невозможно.
  2. Деление нуля на число: 0 : a = 0.
  3. Деление равных чисел: a : a = 1.
  4. Деление на единицу: a : 1 = a.
  5. Для деления переместительное свойства не выполняется: a : b ≠ b : a.
  6. Деление суммы и разности на число: (a ± b) : c = (a : c) ± (b : c).
  7. Деление произведения на число:
    (a * b) : c = (a : c) * b, если a делится на c;
    (a * b) : c = a * (b : с), если b делится на c;
    (a * b) : c = a * (b : с) = (a : c) * b, если a и b делятся на c.
  8. Деление числа на произведение:
    a : (b * c) = (a : b) * (1 : c) = (a : c) * (1 : b).

И еще одно важное свойство деления, которое проходят в 5 классе:

Если делимое и делитель умножить или разделить на одно и тоже натуральное число, то их частное не изменится.

В буквенной форме это свойство выглядит так: a : b = (a * k) : (b * k), где k — любое натуральное число.

Применим свойства деления на практике.

Пример 1

Мама купила 6 кг конфет и разложила их в три пакета. Сколько килограммов конфет в каждом пакете?

Так как в каждом пакете одинаковое количество конфет, разделим 6 кг на три равные части: 6 : 3 = 2. Значит в каждом пакете по 2 кг конфет.

Пример 2

Вычислить: 500 * (100 : 5).

Как решаем: 500 * (100 : 5) = (500 * 100) : 5 = 50000 : 5 = 10000.

Ответ: 500 * (100 : 5) = 10000.

Пример 3

Упростить выражение: 27a – 16a.

Как решаем: 27a – 16a = a * 27 – a * 16 = a * (27 — 16) = a * 11 = 11a.

Свойства умножения и деления помогают упрощать выражения. То есть, если запомнить эти свойства и научиться их применять, то решать задачки можно быстрее.

Источник

Умножение. Переместительное свойство умножения

Начертим на листке в клетку прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Разобьем его на квадраты со стороной 1 см (рис. 140 ). Как подсчитать количество этих квадратов?

Переместительное свойство умножения

Можно, например, рассуждать так. Прямоугольник разделен на три ряда, в кажом из которых есть пять квадратов. Поэтому искомое число равно 5 + 5 + 5 = 15 . В левой части записанного равенства стоит сумма равных слагаемых. Как вы знаете, такую сумму записывают с помощью произведения 5 * 3 . Имеем: 5 * 3 = 15 .

В равенстве a * b = c числа a и b называют множителями, а число c и запись a * b − произведением.

Итак, 5 * 3 = 5 + 5 + 5 .

3 * 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 ;

7 * 4 = 7 + 7 + 7 + 7 ;

1 * 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ;

0 * 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 .

В буквенном виде записывают так:

Произведением числа a на натуральное число b, не равное 1, называт сумму, состоящую из b слагаемых, каждое из которых равно a.

А если b = 1 ? Тогда придется рассматривать сумму, состоящую из одного слагаемого. А это в математике не принято. Поэтому договорились, что:

Если b = 0, то договрились считать, что:

Рассмотрим произведения 1 * a и 0 * a, где a − натуральное число, отличное от 1 .

Теперь можно сделать следующие выводы.

Если один из двух множителей равен 1, то произведение равно другому множителю:

a * 1 = 1 * a = a

Если один из двух множителей равен нулю, то произведение равно нулю:

a * 0 = 0 * a = 0

Произведение двух чисел, отличных от нуля, нулем быть не может.

Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Количество квадратов на рисунке 140 мы подсчитали так:

5 + 5 + 5 = 5 * 3 = 15 . Однако этот полсчет можно было сделать и другим способом. Прямоугольник разделен на пять столбцов, в каждом из которых есть три квадрата. Поэтому исомое число квадратов равно

3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 * 5 = 15 .

Подсчет квадратов на рисунке 140 двумя способами иллюстрирует переместительное свойство умножения.

От перестановки множителей произведение не меняется.

Это свойство в буквенном виде записывают так:

ab = ba

Вы умеете письменно умножать (в столбик) многозначное число на двузначное. Аналогично выполняют умножение любых двух многозначных чисел.

Умножение многозначных чисел в столбик

Этот способ удобен тем, что устно умножать приходится только однозначные числа.

Рассмотрим задачи, в решении которых используют действие умножения.

Пример 1 . В саду росли вишни, яблони и груши. Вишен было 24 дерева, что в 6 раз меньше, чем яблонь, и на 18 деревьев меньше, чем груш. Сколько всего деревьев росло в саду?

Читайте также:  Roblox вс что вам нужно знать

1 ) 24 * 6 = 144 (дерева) − составляли яблони.

2 ) 24 + 18 = 42 (дерева) − составляли груши.

3 ) 24 + 144 + 42 = 210 (деревьев) − росло в саду.

Ответ: 210 деревьев.

Пример 2 . Из одного города одновременно в одном направлении выехали грузовик со скоростью 48 км/ч и легковой автомобиль со скоростью 64 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч после начала движения?

1 ) 64 − 48 = 16 (км) − на столько увеличивается расстояние между автомобилями каждый час.

2 ) 16 * 3 = 48 (км) − расстояние между автомобилями через 3 ч.

Пример 3 . Из одного села в противоположных направления одновременно отправились всадник со скоростью 14 км/ч и пешеход со скоростью 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 4 ч после начала движения?

1 ) 14 + 4 = 18 (км) − на столько увеличивается расстояние между всадником и пешеходом каждый час.

2 ) 18 * 4 = 72 (км) − расстояние между всадником и пешеходом через 4 ч.

Пример 4 . От двух пристаней одновременно навстречу друг другу отошли два катера, которые встретились через 5 ч после начала двиения. Один из катеров двигался со скроростью 28 км/ч, а второй − 36 км/ч. Найдите расстояние между пристанями.

Источник



Свойства умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

m · (ab) = m · am · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:

(ab) · m = a · mb · m.

Переход от умножения:

m · (a + b) и m · (ab)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b и m · am · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b и m · am · b

m · (a + b) и m · (ab)

Источник