Методика преподавания Тригонометрических уравнений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Важным аспектом является изучение тригонометрии — как автономной ветви математики. Учение о тригонометрических функциях имеет широкое применение в практике, при изучении множества физических процессов, в промышленности, и даже в медицине.

В последние годы тригонометрический материал стал постепенно «выжиматься» из основной и старшей школы. Одновременно с этим он традиционно популярен при проведении всевозможных конкурсов, олимпиад, отбором математически одарённых учащихся, а уж на ЕГЭ он имеет место «от А — до С», поскольку чрезвычайно удобен для усложнения.

Другими словами, тригонометрический материал на практике всё более обретает характер селективного инструмента отбора. Соответственно возрастает потребность в хорошей организации обучения этому разделу.

Тем самым анализ учителем возможных подходов к планированию и организации изучения тригонометрии в школе, распределению материала и выбору его сложности с учётом вида школы, предпочтений самого учителя и желаний и способностей учащихся становится чрезвычайно актуальным.

Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания о видах тригонометрических уравнений; умение решения разными методами тригонометрические уравнения. Умеют использовать элементы причинно-следственного и структурно-функционального анализа.

Учащиеся могут свободно пользоваться знаниями о видах тригонометрических уравнений; умение решения разными методами тригонометрические уравнения. Владеют навыками контроля и оценки своей деятельности, умением предвидеть возможные последствия своих действий.

В проделанной мною работе была изучена история тригонометрии, рассмотрены общие вопросы изучения тригонометрических функций в школьном курсе, формирование понятия «тригонометрических уравнений», охарактеризованы основные понятия формул тригонометрии, дано понятие решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, а так же методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алексеев А. Тригонометрические подстановки. // Квант. — 1995. — №2. -с. 40 — 42.

2. Бескин Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания. — М.: Учпедгиз, 1950.

3. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.

Источник

Методика преподавания «Тригонометрических уравнений»

Колмогоров А. Н. , Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9−10 классов средней школы, Москва: Просвещение, 1988, стр. Подробное изучение и понимание этих тем поможет учащимся легче осваивать раздел тригонометрических уравнений. Бородуля И. Т. , Тригонометрические уравнения и неравенства. Книга для учителя, — Москва: Просвещение, 1989, стр. 7. Бескин Н. М. , Вопросы тригонометрии… Читать ещё >

Методика преподавания «Тригонометрических уравнений» ( реферат , курсовая , диплом , контрольная )

Содержание

  • Введение
  • Занятие 1. Тригонометрические уравнения Занятие 2. Арккосинус и решение уравнения cos x = a
  • Занятие 3. Арксинус и решение уравнения sin x = a
  • Занятие 4. Арктангенс и решение уравнения tg x=a
  • Занятие 5. Арккотангенс и решение уравнений ctg x=a
  • Занятие 6. Уравнения приводящие к алгебраическим
  • Заключение
  • Список литературы

В ходе занятий были выявлены проблемы, с которыми сталкивались учащиеся при прохождении новых тем. Анализируя возникающие трудности можно сделать вывод, что основной причиной их появления является неполноценно усвоенный материал раздела тригонометрические функции. Вследствие этого тема тригонометрических уравнений не может быть усвоена до тех пор, пока ученики полностью не изучат ниже перечисленные темы:

Тригонометрические функции числового аргумента Основные формулы тригонометрии Периодичность тригонометрических функций Исследование функции y=sin x

Исследование функции y=cos x

Исследование функции y=tg x

Исследование функции y=ctg x

Подробное изучение и понимание этих тем поможет учащимся легче осваивать раздел тригонометрических уравнений.

Следующей причиной проявившихся проблем в изучении материала было ограниченное количество часов, отведенных на этот раздел. Решение тригонометрических уравнений процесс по-своему творческий. Отсутствие строгого алгоритма решений усложняет задачу школьника. Эта проблема может быть решена с помощью факультативных занятий, либо самостоятельной наработки навыка решений тригонометрических уравнений учениками. Как показывает практика, при большом количестве решенных уравнений, вырабатывается навык решения, и учащийся уже на начальном этапе представляет себе приблизительных ход преобразований, приводящих к нахождению корней данного уравнения. Такой навык очень важен при решении ЕГЭ, так как время, отведенное на экзамен, ограничено.

Список литературы

Бескин Н. М. , Вопросы тригонометрии и её преподавания / Н. М. Бескин ; А. А. Борисова , Н. Н. Махова — Москва: УчПед

Гиз, 1950 — 139 с.

Читайте также:  Набор вопросов для проведения собеседования

Бородуля И.Т., Тригонометрические уравнения и неравенства. Книга для учителя / В. В. Рыжков , Сев. РУНО — Москва: Просвещение, 1989 — 239 с.

Виноградова Л. В., Методика преподавания математики в средней школе — изд. Феникс, 2005, 252 с.

Грицевский И.М., Грицевская С. Э. , От учебника к творческому замыслу урока, — Москва: Просвещение, 1990; 207 с.

Колмогоров А. Н., Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9−10 классов средней школы / А. Н. Колмогоров , А. М. Абрамов , Б. Е. Вейц и др.; Под ред. А. Н Колмогорова — Москва: Просвещение, 1988. 335 с.

Мордкович А.Г., Алгебра и начала анализа 10−11 классы учебник для общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович Алгебра и начала анализа. 10−11 кл.: Учеб. для общеобразоват. Учреждений. — Москва: Мнемозина, 2001.-335 с.

Репьев В.В., Методика тригонометрии / В. В. Семенов ;

Гиз, 1937, 152 с (https://referat.bookap.info, 13).

Бескин Н. М., Вопросы тригонометрии и её преподавания, Москва: УчПед

Виноградова Л. В., Методика преподавания математики в средней школе — изд. Феникс, 2005, стр. 129.

Грицевский И.М., Грицевская С. Э. , От учебника к творческому замыслу урока, — Москва: Просвещение 1990, стр. 128.

Бескин Н. М., Вопросы тригонометрии и её преподавания, Москва: УчПед

Гиз, 1950, стр 95.

Репьев В.В., Методика тригонометрии, Москва: УчПед

Гиз, 1937, стр 121.

Мордкович А.Г., Алгебра и начала анализа 10−11 классы, учебник для общеобразовательных учреждений, Москва: Мнемозина, 2001.

Бородуля И.Т., Тригонометрические уравнения и неравенства. Книга для учителя, — Москва: Просвещение, 1989, стр. 7.

Колмогоров А. Н., Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для 9−10 классов средней школы, Москва: Просвещение, 1988, стр.

Источник

Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

Библиографический список: Алексеев, А. Тригонометрические подстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л. // Квант. 1995. — №2.

Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа

Другие дипломы по предмету

Итак, приняв во внимание описанные в первом параграфе общие положения, касающиеся изучения тригонометрических функций, мы проанализировали наиболее распространенные учебники с точки зрения изложения данной темы (см. § 2) и обобщили полученные результаты в §3. Используя опыт практического преподавания, описанный в §4 можно сделать следующие выводы:

  1. Тригонометрические функции являются наиболее удобным и наглядный средством для обучения учащихся исследованию функций.
  2. Преподавание темы «Тригонометрические функции» требует тщательного подбора содержания, средств и методов обучения, то есть разработки эффективной методики.
  3. Изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:
  4. перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа с числовой окружностью;
  5. числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;
  6. построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;
  7. каждое свойство функций четко обоснованно и все они сведены в систему.
  8. Наиболее удачным как с методической, так и с содержательной точек зрения является учебник [16].
  1. Алексеев, А. Тригонометрические подстановки [Текст] / Алексеев А., Курляндчик Л. // Квант. 1995. — №2. с. 40 42.
  2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11[Текст] / Ш.А. Алимов // Учебник — Москва: Просвещение, 2001.
  3. Башмаков, Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /Башмаков //Учебник — Москва: Просвещение, 1992.
  4. Бескин, Н.М. Вопросы тригонометрии и ее преподавания [Текст] / Бескин Н.М. — Москва: Учпедгиз, 1950.
  5. Гилемханов, Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В [Текст] / Гилемханов Р.Г. //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.
  6. Горнштейн, П.И. Тригонометрия помогает алгебре [Текст] / Горнштейн П.И. // Квант. 1989-№5 с. 68-70.
  7. Дорофеев, Г. Периодичность и не периодичность функций [Текст] / Дорофеев Г., Розов Н. //Квант. 1977- №1- с.43-48.
  8. Зарецкий, В.И. Изучение тригонометрических функций в средней школе [Текст] / Зарецкий В.И. — Минск: Народная асвета, 1970.
  9. Земляков, А. Периодические функции [Текст] / Земляков А., Ивлев Б. // Квант. 1976-№12- с. 34-39.
  10. Калинин, С.И. Задачи и упражнения по началам математического анализа [Текст] / Калинин С.И., Канин Е.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Подгорная И.И., Фалелеева С.А. — Киров: ВГПУ, 1997.
  11. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Н. Колмогоров// Учебник — Москва: Просвещение, 1999.
  12. Крамор, В.С. Тригонометрические функции [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. Москва: Просвещение, 1979.
  13. Лященко, Е.И. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики [Текст] /Лященко Е.И. Москва: Просвещение, 1988.
  14. Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе (Частная методика). [Текст] / Мишин, В.И. — Москва: Просвещение, 1987.
  15. Мордкович, А.Г. Методические проблемы изучения тригонометрии в общеобразовательной школе [Текст] / Мордкович А.Г. //Математика в школе. 2002 — № 6 с.32-38.
  16. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 [Текст] /А.Г. Мордкович// Учебник- Москва: Мнемозина, 2003.
  17. Панчишкин, А.А. Тригонометрические функции в задачах [Текст] / Панчишкин А.А., Шавгулидзе Е.Т. — Москва: Наука, 1986.
  18. Раббот, Ж. Тригонометрические функции [Текст] / Раббот Ж. // Квант. 1972- №5- с. 36-38.
  19. Синакевич, С.В. Тригонометрические функции [Текст] / Синакевич С.В. — Москва: Учпедгиз, 1959.
  20. Смирнова, И.М. Необычный способ получения синусоиды [Текст] / Смирнова И.М. // Математика в школе. 1993-№3- с.56-58.
  21. Цукарь, А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии [Текст] / Цукарь А.Я. //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
  22. Шаталов, В.Ф. Методические рекомендации для работы с опорными сигналами по тригонометрии [Текст] / Шаталов В.Ф. — Москва: Новая школа, 1993.
  23. Шенфельд, Х. Что общего между заходом солнца и функцией y=sin х [Текст] /Шенфельд Х. // Математика в школе. 1993-№2- с.75-77.
Читайте также:  Модель атома резорда бора вопросы

Факультатив «Тригонометрия помогает алгебре».

Известно, что «тот или иной материал усваивается школьниками не тогда, когда этот материал является целью обучения, а тогда, когда он становится средством для решения других задач»[10]. Поэтому целесообразно показать учащимся то, как можно применять свойства тригонометрических функций и тригонометрические тождества при решении, например, алгебраических задач.

1) Провести межпредметные связи между тригонометрией и алгеброй.

2) Способствовать формированию умений решать некоторые виды уравнений алгебры с помощью тригонометрических подстановок.

Этот факультатив желательно проводить после того, как изучены все разделы тригонометрии.

Учащимся предлагается попробовать решить уравнение самостоятельно. Попробовав выполнить стандартное возведение в квадрат обеих частей, учащиеся натыкаются на уравнение 6-ой степени, решение которых в школьном курсе не рассматривается. Обратив внимание учащихся, на то, что областью допустимых значений переменной данного уравнения является отрезок [-1;1], учитель предлагает вспомнить изученные функции, областью значений которых является данный отрезок. После чего делается вывод: если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной x определяются неравенством |x|≤1, то удобны замены х=sinα, α, или х=cosα, α, причем какую из них выбрать, зависит от конкретной задачи.

Учащиеся совместно с учителем прорешивают данное уравнение.

«Поскольку функция 4х3-3х существует при любых значениях х, найдем область определения функции f(x)= : 1- х2 ≥0, значит х. Введем замену х=cosα. Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция косинус принимает все свои значения, например отрезок .

Подставим х=cosα в уравнение, получим

Так как α, то sinα ≥0 и можно опустить модуль:

Условию α удовлетворяют три значения α1=, α2=, α3=.

x3= cos α3=cos =-cos=.

Пример 2. Сколько корней на отрезке [0;1] имеет уравнение

При отсутствии лишнего времени решение лучше вынести в качестве домашнего задания. Если уровень подготовки класса не очень высок, то учитель может сделать подсказку «Замена х=cosα, α ставит в соответствие каждому значению х на [0;1] ровно одно значение α. Значит, число решений исходного уравнения на [0;1] равно числу решений соответствующего уравнения на , причем так как х0 и х1, то можно взять α». Уравнение примет вид

Условию α удовлетворяют четыре значения α1=, α2=, α3=, α4=.

Ответ: уравнение на отрезке [0;1] имеет ровно четыре корня.

Пример 3. Решить систему уравнений

Внимательно посмотрев на первое уравнение системы, учащиеся сами (или с помощью учителя) замечают, что оно очень похоже на основное тригонометрическое тождество и делают вывод: если в задаче встречается равенство х2+y2=1, то часто бывает полезно сделать замену х= sinα, y= cosα, α, так как числа, сумма квадратов которых равна 1, это синус и косинус одного и того же числа. Дальнейшее решение системы не вызывает затруднений и может быть произведено учащимися самостоятельно.

Пусть х= sinα, y= cosα, α Второе уравнение системы примет вид

Условию α удовлетворяют четыре значения α1=, α2=, α3=, α4=.

Читайте также:  Обзор судебной практики по вопрос сноса строений домов за нарушения пожарных норм

Ответ: х= , y= ; x= , y= ; x= ,

В качестве домашнего задания учащимся можно предложить решить задачу:

Числа a, b, c, d таковы, что a2+b2=1, c2+d2=1, ac+bd=0. Чему равно ab+cd?

Решение может выглядеть следующим образом. «Пусть а= sinα, b= cosα, α, c=sinβ, d=cosβ, β. Уравнение ac+bd=0 перепишем в виде

Преобразуем выражение ab+cd:

Так как cos(α- β)=0, то sin(α +β)*cos(α — β)=0, a значит ab+cd=0.

После этого учитель подводит учащихся к вопросу: «Можно ли применять тригонометрические подстановки для решения уравнений, в область допустимых значений которых входят все действительные числа?»

Можно, но в случаях, когда переменная может принимать различные значения, используются замены x=tgα, α и x=ctgα, α.

Источник



Бескин н м вопросы тригонометрии и ее преподавания


Название: Книги по тригонометрии. Сборник (36 книг)
Автор: М.В. Лурье, И.М. Гельфанд, С.А. Теляковский, И.Т. Бородуля, В.С. Крамор
Издательство: Наука, Мир, Знание
Год: 1905 — 2005
Формат: pdf, djvu
Страниц: 36 книг
Размер: 118 + 79,5 Мб
Язык: русский

Сборник книг по тригонометрия является хорошей подборкой книг для любителя математики, школьника, абитуриента и студента.
Настоящие книги предназначаются в качестве учебных пособий для физико-математических факультетов педагогических институтов и университетов по разделу «Тригонометрия» — специального курса элементарной математики. При написании настоящей книги я руководствовался теми же принципами, которые положены в основу моей книги «Специальный курс элементарной алгебры» и которые подробно высказаны мною в предисловии к упомянутой книге.
Едва ли нужно доказывать необходимость углубленного и систематического изучения студентами элементарной математики, т. е. той дисциплины, которую они станут преподавать в школе. Различные курсы «высшей» математики, при всем их огромном значении, не могут сами по себе обеспечить необходимой профессиональной подготовки будущего учителя.

Сборник состоит из следующих книг.
1. Н. Рыбкин — Учебник прямолинейной тригонометрии, 1905 г.
2. Э. Борель — Тригонометрия, 1909 г.
3. С. Глазенап — Тригонометрия. Часть 2. Гониометрия, 1916 г.
4. С. Глазенап — Тригонометрия. Решение прямолинейных треугольников, 1922 г.
5. К.Н. Рашевский- Тригонометрия, Издание 4, 1931 г.
6. И. Рыбкин — Прямолинейная тригонометрия, учебник для средней школы, 1933 г.
7. Н. Рыбкин — Сборник задач по тригонометрии, для средней школы, 1933 г.
8. Е. Березанская — Тригонометрические уравнения и методика их преподавания, 1935 г.
9. В.В. Репьев — Методика тригонометрии, 1937 г.
10. М.К. Вентцель — сферическая тригонометрия, 1948 г.
11. Степанов Н.Н. — Сферическая тригонометрия, 1948 г.
12. А.И.Погорелов — Сборник задач по тригонометрии, 1949 г.
13. Н.М. Бескин — Вопросы тригонометрии и её преподавания, 1950 г.
14. С.И. Новоселов — Специальный курс тригонометрии, 1953 г.
15. А.И.Худобин — Сборник задач по тригонометрии , 1955 г.
16. С.Н. Воскресенский — Об оформлении письменных работ по геометрии с применением тригонометрии, 1956 г.
17. С.И. Новоселов — Обратные тригонометрические функции, 1956 г.
18. А.Ф. Бермант, Л.А. Люстерник — Тригонометрия, 1960 г.
19. Бескин Н.М. — Задачник-практикум по тригонометрии, 1962 г.
20. А. Зигмунд — Тригонометрические ряды, Том 1, 1965.
21. А. Зигмунд — Тригонометрические ряды, Том 2, 1965.
22. Н.М. Бескин — Задачник-практикум по тригонометрии, 1966 г.
23. И.К. Андронов, А.К. Окунев — Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач, 1967 г.
24. С.И. Новоселов — Специальный курс тригонометрии, 1967 г.
25. В.С. Крамор, П.А. Михайлов — Тригонометрические функции, 1983 г.
26. А.А. Панчишкин, Е.Т. Шавгулидзе — Тригонометрические функции и задачи, 1986 г.
27. И.Т. Бородуля — Тригонометрические уравнения и неравенства, 1989 г.
28. Т.Х.Яковлева — Исследование функции. Тригонометрические уравнения и неравенства, 1992 г.
29. А.И. Азаров — Тригонометрические уравнения, 1994 г.
30. С.А. Теляковский — Тригонометрия, учебник для 10 класса, 2001 г.
31. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. — Тригонометрия, 2002 г.
32. Громов Ю.Ю., Земской Н.А., Иванова О.Г. — Тригонометрия, 2003 г.
33. Гельфанд И.М., Львовский С.М., Тоом А.Л. — Тригонометрия, издание третье, 2003 г.
34. М.В. Лурье — Тригонометрия. Техника решения задач, 2004 г.
35. А.И. Новиков — Тригонометрические функции, уравнения и неравенства, 2005 г.

Источник