Обработка результатов наблюдений содержащих случайные погрешности

Случайные погрешности

Случайные ошибки, как мы уже говорили, вызываются одновременными действиями очень большого числа факторов. Влияние каждого из них невелико, оно может изменяться хаотично или по какому-либо закону, поэтому суммарные действия всех факторов совершенно хаотично.

В каждом конкретном наблюдении случайная ошибка δх непредсказуема ни по знаку, ни по величине, однако, она подчиняется статическим закономерностям. Они проявляются при большом числе наблюдений.

Предположим, что проводится измерение некоторой величины х. Пусть систематические погрешности малы и ими можно пренебречь. Для надежной оценки случайных ошибок получены результаты х1, х2, …, хn (n-наблюдений). Наиболее вероятное значение измеряемой величины (результат) определяется из (1.3).

Случайное отклонение результата i-го наблюдения от среднего может быть большим и малым, положительным или отрицательным, однако, чем больше отклонение, тем оно встречается реже и распределение Δxi будет симметричным относительно нулевого значения (рис. 1.1).

При этом оказывается, что приблизительно в 68% случаев отклонения |Δxi| не превышают некоторую величину σ называемую стандартным отклонением,а 32% превышают её. Иначе говоря, с вероятностью 68% отклонение хi лежит в интервале [-σ ; σ]. Для интервала [-2σ ; 2σ] эта вероятность составляет 95%, а для [-3σ ; 3σ] – 99,7% (рис. 1.1). Соответственно, для любой вероятности Рдоверительный интервал [-λPσ ; λPσ] определяется числовым множителем λP зависящим от Р.Например,

Рис. 1.1. Функция распределения для случайного отклонения

В теории вероятности показано, что можно оценить величину σ по отклонениям Δxi

где S – средняя квадратичная погрешность отдельного наблюдения.

Среднее арифметическое совокупности результатов, безусловно, точнее характеризует значение измеренной величины, чем результат только одного наблюдения, поэтому стандартное отклонение среднего результатаσn меньше σ. В теории вероятности показано, что , следовательно, средняя квадратичная погрешность окончательного результата опыта

а полуширина доверительного интервала

Чем больше число наблюдений n, тем точнее приближенное равенство (при σ = S ), однако, практически нецелесообразно проводить большее число измерений для определения одной величины. В учебных лабораториях, как правило, n

10. Это приводит к тому, что при заданной погрешности расширяется интервал Δх, т.е. увеличивается множитель λP. Причем для различных n это увеличение будет различным. Таким образом, λP трансформируется в новый коэффициент tn,p – коэффициент Стьюдента (табл. 1.1), причем, в пределе при n→∞; .

n Pд=0,5 Pд=0,6 Pд=0,7 Pд=0,8 Pд=0,9 Pд=0,95 Pд=0,98 Pд=0,99
1,00 1,38 1,96 3,08 6,31 12,71 31,82 63,66
0,82 1,06 1,34 1,89 2,92 4,30 6,97 9,93
0,77 0,98 1,25 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84
0,74 0,94 1,19 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60
0,73 0,92 1,16 1,48 2,02 2,62 3,37 4,03
0,72 0,91 1,13 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71
0,71 0,90 1,12 1,42 1,90 2,37 3,00 3,50
0,71 0,89 1,11 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
0,70 0,88 1,10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25
0,69 0,87 1,07 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95
0,69 0,86 1,06 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80

С учетом коэффициента Стьюдента случайная погрешность результата, определяющая полуширину доверительного интервала около среднего значения измеряемой величины, может быть записана:

Это основная формула для расчета случайных погрешностей прямых измерений.

ПРИМЕР.Пусть с помощью микроамперметра измеряется обратный ток через р-n переход. В результате измерений проявляются случайные ошибки, поэтому проведем десять (n=10) повторных наблюдений тока I (табл. 1.2).

Обратный ток через p-n-переход

Номер наблюдения Ii, мкА , мкА
32,3 -0,22
32,8 0,28
32,4 -0,12
32,7 0,18
32,4 -0,12
32,0 -0,52
32,6 +0,08
32,9 +0,38
32,2 -0,32
32,9 +0,38

Определим результат и случайную погрешность измерения.

1. Найдем результат измерения – среднее арифметическое:

Промежуточные вычисления проводим с большей точностью (один знак), чем точность измерений, чтобы избежать заметных ошибок округления в окончательном ответе. Эта последняя цифра отбросится.

2. Определим случайные отклонения ΔΙi всех наблюдений от среднего значения (см. табл. 1.2).

3. Рассчитаем алгебраическую сумму ΔΙi. Если она не равна нулю, в вычислениях допущена ошибка, в нашем случае она равна нулю, т.е. расчеты правильны.

4. В шестом наблюдении значение I явно отличается от остальных значений. Его можно подозревать на промах. Для проверки рассчитаем среднюю квадратичную погрешность одного наблюдения.

5. Найдем предельную погрешность наблюдения – она в три раза больше чем S и составляет ΔΙпред =3S=0,93 мкА.

6. Для промаха модуль отклонения превышает предельную погрешность > ΔΙпред. В данном случае = 0,52 мкА < ΔΙпред, следовательно промахи отсутствуют. Если бы они были обнаружены, то результаты таких измерений надо отбросить и расчеты провести заново. Если подозрений на промахи нет п.п. 4-6 можно пропустить.

7. Рассчитаем среднюю квадратичную погрешность измерения

где коэффициент Студента tn,p найден по таблице 1.1. Для числа наблюдений n=10 и доверительной вероятности P=0,95, tn,p =2,26.

Источник

Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности

Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности

Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности

  • Среднее арифметическое значение. Повторите измерение несколько раз, чтобы получить серию измеренных величин. В большинстве случаев эти значения отличаются друг от друга, но если измерения выполняются в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью, они заслуживают одинаковой уверенности. Чтобы приблизиться к истинному значению измерений, необходимо выполнить серию Среднее арифметическое ** результатов наблюдений рассчитывается по следующей формуле: — = 1 + a + X. + — + * l I- ((UP 5).

Где х — это среднее значение. Результаты одного наблюдения. р — количество наблюдений. Кроме того, предполагается, что в результатах наблюдений нет систематических ошибок. Давайте установим, что охватывает это значение и насколько оно тщательно. Styodent — это псевдоним английской статистики Госсета. Кроме того, среднее арифметическое называется аббревиатурой Многие наблюдения можно записать так: x1 = a + 81 Ха = а + 6, ха = а + 83 xa = a + 5 2×1 = pa + 284. (U11.6) Где a — истинное значение измеренной величины или математическое ожидание M (x) случайной величины. b i-я ошибка измерения.

Теория вероятностей установила, что алгебраическая сумма всех случайных ошибок стремится к нулю (ПИ-7) Чем больше выполненных измерений, тем больше эквивалентность (VII.7). Когда уравнение (UP.7) подставляется в уравнение (UP.6): Откуда (UP.8) Другими словами, среднее является истинным приближением. Опыт показывает, что при запуске новой серии постоянных величин в тех же условиях новое среднее значение очень близко к исходному значению. Отклонение от среднего Это известно из формулы случайной ошибки (UP.1). Принимая среднее значение х вместо V, = x, -x, Где r 1 — отклонение i-го наблюдения от средней шкалы *.

Читайте также:  Продуктивная деятельность в детском саду теория и практика организации

Все величины, содержащиеся в этом уравнении, известны, и могут быть выполнены необходимые расчеты. Существует некоторая разница между средним значением х и истинным значением, которое нам неизвестно И Я точный Отклонение от среднего арифметического или явной ошибки (VII.10) Примите ошибку b, используя среднее арифметическое измеренной величины в качестве конечного результата серии измерений. Эта ошибка носит случайный характер и обычно распределяется, но параметры разные. Значение b называется случайной ошибкой среднего арифметического наблюдений, а в отличие от 6 оно называется случайной ошибкой наблюдений.

Вычтите уравнение (UP.9) для каждого члена из уравнения (VII.1) и рассмотрите уравнение (U.10) 8, -4 = Г — а = 8Г. Поэтому, используя отклонение от среднего арифметического V ^ вместо случайной ошибки 6, примите ту же ошибку, что и при замене истинного значения a на среднее арифметическое x. Есть две очень важные характеристики отклонения от среднего. Если сумма случайных ошибок приблизительно равна нулю, уравнение 0711.7) , то в отношении отклонений от среднего значения может быть установлено следующее положение. 1.

Алгебраическая сумма отклонения от среднего равна нулю. Давайте докажем это: ба = хб-х Y = Xn-X Из равенства (УП.5) 0TKUZ b 0. (VII.11) Это уравнение всегда верно, если при вычислении среднего арифметического не выполняется округление. Когда происходит округление, вы всегда можете оценить, насколько отклонение от нуля соответствует этому округлению. 2. Сумма квадратов отклонений от среднего имеет наименьшее значение (VII.12) Это принимает другие числа вместо среднего арифметического, так что при определении отклонения каждого наблюдения Чи сумма квадратов этих отклонений всегда больше, чем сумма квадратов отклонений от среднего Надо понимать.

  • Указанное свойство суммы квадратов отклонений от среднего арифметического от x не зависит от того, больше или меньше другие числа, взятые вместо x. Пример 1. Обработка 10 наблюдений (Таблица 11). Первый, второй и третий столбцы показывают значения для вышеуказанных величин, а четвертый столбец показывает отклонение от конкретного значения, которое отличается от среднего значения отдельных наблюдений. Квадрат этих значений отклонения в пятом столбце.

Как видно из таблицы, более 2 секунд HoA Таблица 11 5304,5 0,09 —0,2 0,04 5305,2 + 0,4 0,16 + 0,5 0,25 5304,3 — 0,5 0,25 — 0,4 0,16 5304,9 + 0,1 0,01 + 0,2 0,04 5 304,8 0 0 + 0,1 0,01 5305,0 + 0,2 0,04 + 0,3 0,09 5304,6 —0,2 0,04 1o, 1,01 5305,1 + 0,3 0,09 + 0,4 0,16 5304,7 —0,1 0,01 0 0 5304,9 + 0,1 0,01 + 0,2 0,04 Her 1 = 0 21 = 0,70-0,80 х = 5304,8 (+ 1,1-1,1) (+ 1,7-0,7) Расчет среднего арифметического и отклонения от него путем замены среднего Любое число В некоторых случаях вычисление среднего арифметического путем суммирования всех отдельных результатов неудобно и обременительно. Этот расчет может быть легко сделан: Выберите число, близкое к среднему арифметическому, без вычисления среднего. Выражается как Y и рассчитывается для каждого наблюдения-отклонения от значения x 10, = X x .

Суммируйте все n наблюдений и разделите на n. Они Так как это среднее арифметическое, (VII.13) Вот пример определения среднего арифметического описанного метода: Пример 2. Вам нужно найти среднее арифметическое следующих 15 чисел: 798, 796, 803, 795, 804, 789, 801, 791, 794, 809, 806, 792, 807, 800, 797. Для расчета выберите число 800 и все данные. Номера расположены в порядке возрастания. +789 +791 +792 795 +796 +797 +798 По формуле (УП.13) х = 800- = 798,8. Как видите, этот метод упрощает расчет даже для относительно небольших чисел.

С помощью описанного метода вы также можете рассчитать отклонение от среднего арифметического, используя och — произвольно выбранное отклонение от x. Подставляя найденную формулу (VII.13) в среднее арифметическое и подставляя ее в формулу (UP.9) 1 = X1-X = X (-x — x * —x = и Эта формула может быть использована для определения отклонения от среднего. Подумайте, как найти понятие Ho, -2. Возведите в квадрат квадрат (VII.14) и суммируйте все значения в n измерениях. Затем сложите второе и третье слагаемые в правой части уравнения, Bo, 8 = Bsh, — (VII.15).

Таблица 12 -…. 789 11 9,8 121 -107,8 791 9 7,8 81 70,2 792 8 6,8 64 54,4 794 6 -4,8 36 28,8 795 5 3,8 25 19,0 796 2,8 11,2 797 3 1,8 9 5,4 798 2 0,8 4-1,6 800 0 1,2 0 0 80 1-2.2 1-2.2 803 3 4,2 9-12,6 804 5,2 16-20,8 806 6-7,2 36-43,2 807 7-8,2 49-57,4 809 9 1-10,2 81 91,8

= 798,8 1a ; = -18 прогиб + 38,4 ад = 548 Schr-548 526 4 = ад Ea (-15

1 2 -g-5203 Найдите значение Бо-2 другим способом. Умножьте на равенство (VII.14). Определите это уравнение для n наблюдений и сложите их вместе, Поскольку полное отклонение от среднего равно нулю, то есть Bo = 0, Уравнения (VII.15) и (VII.16) используются для расчета суммы квадратов отклонений от среднего арифметического и для контроля точности расчетов относительно друг друга. Продолжая решение в примере 2, используя найденное выражение, найдите значение Xe. Результаты расчета приведены в таблице. 12.

Определение стандартного отклонения от экспериментальных данных Расчет среднеквадратичного отклонения путем измерения конечного числа n выполняется по следующей формуле *: 8 = Не цитируя заключение этой формулы, отметим, что она связана со второй характеристикой отклонения от среднего арифметического (см. Стр. 134). Не теоретический Если ошибка b = x — a, то Xg (-2 28 2, (VII.18).

Независимо от того, больше или меньше 2b, чем 2о . Появление в знаменателе радикального выражения формулы (VI 1.17) n — 1 связано с неравенством (VII.18). Другими словами, это связано с заменой теоретической случайной ошибки b, отклонением о от среднего арифметического измерения, которое связано с заменой истинного значения измерения и среднего арифметического наблюдения x. Это Определите стандартное отклонение от данных, приведенных в таблице. 12.

Источник

Случайная погрешность

Наличие случайных погрешностей в результате при повторении измерений в неизменных условиях эксперимента объясняется самой природой этих погрешностей. Строго говоря, условия не остаются неизменными и их колебания вызывают непостоянство результата, т.е. случайные погрешности всегда будут присутствовать в результате измерений.

Читайте также:  Методика диагностики межличностных отношений Лири

Характером проявления случайной погрешности определяется и способ их учета. Учесть влияние случайных погрешностей на результат измерения можно только путем анализа всей совокупности случайных погрешностей.

Случайная погрешность считается случайной величиной, и поэтому ее оценивают методами математической статистики и теории вероятности. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности является закон распределения, представляющий собой зависимость вероятности появления случайной погрешности от величины этой погрешности. Большинство результатов измерений содержит случайную погрешность, подчиняющуюся нормальному закону распределения:

где W(D) – плотность вероятности случайной погрешности отдельного измерения , это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует помнить, что сумма отклонений результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений;

s – параметр, характеризующий степень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х0, называют средним квадратическим отклонением случайной величины измерения;

— математическое ожидание результатов наблюдений.

, s – являются точечными оценками случайной погрешности.

При случайных погрешностях результат каждого измерения Хi будет отличаться от истинного значения Х0
измеряемой величины:

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения (результата наблюдения).

Истинное значение Х0 неизвестно, поэтому на практике его заменяют наиболее достоверным значением измеряемой величины, определяемым на основании экспериментальных данных.

Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое значение, то оно является наиболее достоверным значением измеряемой величины. При вычислении среднего арифметического большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

где n – число измерений.

где xi – численный результат отдельного измерения;

n – число измерений.

Характер кривых, описываемых (4.5), показан на рисунке 4.1а для трёх значений s. Функция (4.5) графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс. Максимум этой кривой получается в точке D=0, а величина этого максимума . Как видно из рисунка 4.1, чем меньше s, тем уже кривая и, следовательно, реже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

Вероятность появления погрешности в пределах между D1 и D2
определяется площадью заштрихованного участка на рис. 4.1 б, т.е. определённым интегралом от функции W(D):

Значения интеграла вычислены для различных пределов и сведены в таблицы. Интеграл, вычисленный для пределов D1=–¥ и D2=+¥, равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от –¥ до +¥ равна единице.

Из таблиц, приведенных в математических справочниках, следует что:

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы ±s. С вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах ±3s, т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую ±3s. Это соотношение называется законом трёх сигм.

Так как на практике число измерений не превышает нескольких десятков, то появление погрешности равной ±3s , маловероятно. Поэтому погрешность ±3s считается максимально возможной случайной погрешностью. Погрешности более ±3s считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

В теории случайных погрешностей вводится также понятие о среднем квадратическом отклонении среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность результата измерений)

где — оценка средней квадратической погрешности ряда из n измерений.

Рассмотренные оценки результатов измерений , s, выражаемые одним числом, называют точечными оценками. Поскольку подобную оценку обычно принимают за действительное значение измеряемой величины, то возникает вопрос о точности и надежности полученной оценки. Судят об этом по вероятности a того, что результат измерений (действительное значение) отличается от истинного не более чем на D.

Это можно записать в виде

Вероятность a называется доверительной вероятностью или коэффициентом надежности, а интервал значений от –D до +D — доверительным интервалом. Обычно его выражают в долях средней квадратической погрешности

где tα(n) — табулированный коэффициент распределения Стъюдента, который зависит от доверительной вероятности a и числа измерений n, значения которого можно найти в математических справочниках.

Доверительную вероятность и доверительный интервал называют интервальными оценками.

Источник

Случайная погрешность

Случайная составляющая погрешности измеренийопределяется принципом действия, конструкцией, схемой и характеристиками измерительного средства, случайными процессами в контролируемом объекте и окружающей среде. Ее источником могут быть также условия эксплуатации, действия персонала, производящего измерения, и другие случайные причины.

Интуитивно понятно, что при очень большом количестве измерений, выполняемых в строго одинаковых условиях, случайную составляющую погрешности можно свести к минимуму или вообще ее исключить и тем самым найти истинное значение физической величины. Строго математически может быть доказано что:

Ø Истинное значение физической величины равно ее точному среднему значению по всей бесконечно большой совокупности идентичных измерений.

В реальности мы всегда имеем дело с ограниченным количеством измерений, поэтому вместо точного среднего значения можно получить только некоторую его оценку, которая будет определяться законом распре­деления вероятности величины случайной погрешности и количеством изме­рений. Эта оценка является случайной величиной (в отличие от собственно среднего значения, которое является величиной неслучайной). Ее значение определяется в соответствии с законами и критериями теории вероятности и математической статистики и зависит от числа измерений, закона распределения вероятности погрешности отдельного измерения.

Такой оценкой среднего, т.е. истинного, значения физической величины, является ее среднеарифметическое значение, полученное в результате многократно проведенных измерений и принимаемое за действительное значение

где А – среднеарифметическое значение многократных измерений, ai — результат i-го отдельного измерения, N – число измерений.

Ø За действительное значение физической величины принимается ее среднеарифметическое значение – наиболее достоверное значение, которое можно приписать измеряемой величине на основании многократных измерений.

Дисперсия есть среднеквадратичное отклонение измеряемой величины от ее истинного значения. Дисперсией среднеарифметическогоD(A) называется отклонение среднеарифметического значения физической величины от ее среднего (истинного) значения:

где: — среднее значение измеряемой величины, равное истинному значе­нию, s- среднеквадратическая погрешность однократного измерения.

Из выражения для дисперсии среднеарифметического (6) следует,

· при бесконечном увеличении числа измерений, N®¥, дисперсия среднеарифметического D(A) стремится к нулю, D(A) ®0 и, следовательно, среднеарифметическое значение измеряемой величины A будет стремится к ее истинному значению .

· среднеквадратическое отклонение случайной погрешности результата многократного измерения в раз меньше среднеквадратичного отклонения результата однократного измерения s.

Зная среднее арифметическое значение, можно определить отклонение результата единичного измерения от среднего значения, т.е. его погрешность:

Читайте также:  Урок 9 Бесплатно Меньше или больше

Таким образом, сумма отклонения результата измерений от среднего значения равна нулю, а сумма их квадратов минимальна. Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля правильности вычислений.

Точно так же, как невозможно опытным путем определить среднее значение величины, нельзя определить и среднеквадратическое значение отклонения отдельного измерения s. При конечном числе измерений N, возможно лишь найти его оценку, которая равна:

Для многократного измерения оценка среднеквадратического отклонения среднеарифметического (среднеквадратическая погрешность результата многократных измерений) равна:

При увеличении количества измерений, N ® ¥ среднеарифметическое значение А стремится к среднему значению , а среднеквадратическая погрешность становится пренебрежимо малой sА ® 0.

Рассмотренные среднеарифметическое значение и среднеквадратичное отклонение есть случайные величины, которые характеризуют измеряемую величину в единственной точке и являются «точечными» оценками погреш­ности измерений. Наряду с этим типом оценки существует и «интервальная» оценка погрешности

Интервальная оценка погрешности состоит в указании доверительного интервала, в котором измеряемая величина находится с известной вероятностью. Согласно этой оценке определяется вероятность появления погрешности d, величина которой не выходит за некоторые принятые границы (интервал). За середину этого интервала принимается среднеарифметическое значение величины, а сам интервал называют доверительным интервалом.

Интервальная оценка погрешности основывается на понятии «функция распределения вероятности погрешности», которая определяет вероятность возникновения данной величины случайной погрешности. На практике обычно рассматривают некоторое приближение к реальному закону распределения, наиболее простому для анализа и расчетов. В случае технических измерений в качестве такого приближения (аппроксимации) наиболее часто используют закон нормального распределения. Рассматриваются также законы равномерного распределения и треугольный закон распределения, распространенный среди цифровых приборов.

Источник



Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Случайные отклонения результатов , характеризующие воспроизводимость методов анализа, являются статистическими величинами и определяются неявными факторами, изменяющимися от опыта к опыту. Воспроизводимость зависит от объема выборки и может быть точно найдена только при я — — — — оо. Необходимо также отметить, что Х ц при отсутствии систематической погрешности. Оценка воспроизводимости выборки, состоящей из я вариант, может быть проведена различными способами.  [1]

Доверительными границами случайных отклонений результатов измерений называют верхнюю и нижнюю границы интервала значений от X — Ах до X Дх, накрывающего с заданной вероятностью случайные отклонения результатов измерений. Доверительный интервал выражается через среднее квадр этическое отклонение, доверительная вероятность определяется по таблицам интеграла Лапласа ( для закона нормального распределения) или, задаваясь доверительной вероятностью, определяют доверительные границы. Так, например, задаваясь 95 % — ной вероятностью, считают доверительный интервал равным 4а, где а — среднее квадратическое отклонение результата измерения. При небольшом числе измерений доверительные интервалы и доверительную вероятность определяют, пользуясь распределением Стьюдента.  [2]

Лср) называется случайным отклонением результата наблюдения ( или остаточной погрешностью) и может иметь как положительный, так и отрицательный знак.  [3]

Вычислим среднее арифметическое, случайные отклонения результатов наблюдений , квадраты их и сумму квадратов.  [4]

Постоянные систематические погрешности не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой систематической погрешности.  [5]

Разность Хг — — Дг; называется случайным отклонением результата i — ro наблюдения от среднего. При достаточно большом числе наблюдений п положительные и отрицательные значения одинаковой величины появляются одинаково часто, большие отклонения встречаются реже, чем малые — распределение отклонений Дл: — около нулевого значения будет симметричным. При этом оказывается, что приблизительно в 68 % случаев отклонения Дя; по модулю не превышают некоторую величину а — стандартное отклонение, а в 32 % превышают ее.  [7]

Для получения полного представления о точности и надежности оценки случайного отклонения результата наблюдения должны быть указаны доверительные границы, доверительный интервал и доверительная вероятность. При известном а доверительные границы указываются следующим образом: нижняя граница — 0 или X — а, верхняя граница сг или X а ( сокращенно сг или X а), за пределы которых с вероятностью Р 0 683 ( или 68 3 %) не выйдут значения случайных отклонений xt — X или результатов отдельных наблюдений л: — ряда измерений.  [9]

Аср; р2 а2 — Аср; р ап — ACQ, называется случайным отклонением результата наблюдения и может иметь как положительный, так и отрицательный знак.  [10]

Одним из наиболее действенных способов обнаружения систематических погрешностей в ряде результатов наблюдений является построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических.  [11]

Доверительными границами случайных отклонений результатов измерений называют верхнюю и нижнюю границы интервала значений от X — Ах до X Дх, накрывающего с заданной вероятностью случайные отклонения результатов измерений . Доверительный интервал выражается через среднее квадр этическое отклонение, доверительная вероятность определяется по таблицам интеграла Лапласа ( для закона нормального распределения) или, задаваясь доверительной вероятностью, определяют доверительные границы. Так, например, задаваясь 95 % — ной вероятностью, считают доверительный интервал равным 4а, где а — среднее квадратическое отклонение результата измерения. При небольшом числе измерений доверительные интервалы и доверительную вероятность определяют, пользуясь распределением Стьюдента.  [12]

Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но их можно уменьшит. При этом происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения. Расчет случайных погрешностей производится методами теории вероятностей и математической статистики.  [13]

Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но их можно уменьшить путем многократного повторения измерений. При этом происходит частичная компенсация случайных отклонений результатов измерений в сторону завышения и в сторону занижения. Расчет случайных погрешностей производится методами теории вероятностей и математической i-татистики.  [14]

При неограниченно большом числе наблюдений Аср стремится к истинному значению измеряемой величины, а случайное отклонение результата наблюдения — к равенству с соответствующими случайными погрешностями.  [15]

Источник