Примечание Почему именно квадраты разностей

Как найти среднеквадратическое отклонение

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение. Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом \sigma(греческая буква «сигма»).

Формула для расчета \sigmaдовольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

  • Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
  • Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности).
  • Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Порода собаки Рост в миллиметрах
Ротвейлер 600
Бульдог 470
Такса 170
Пудель 430
Мопс 300

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение. Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее =\frac{600+470+170+430+300}{5} = 394мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего:

\[ \begin{array}{l} 1: 600-394 = 206 \\ 2: 470-394 = 76 \\ 3: 170-394 = -224\\ 4: 430-394 = 36\\ 5: 300-394 = -94 \end{array} \]

Наконец, чтобы вычислить дисперсию, каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

= \frac{206^2+76^2+(-224)^2+36^2+(-94)^2}{5} = 21704

Дисперсия мм 2 .

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

\sigma = \sqrt{21704} \approx 147мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть Nзначений, то:

  • Когда мы имеем дело с генеральной совокупностью при вычислении дисперсии, мы делим на N(как и было сделано в рассмотренном нами примере).
  • Когда мы имеем дело с выборкой, при вычислении дисперсии делим на N-1.

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = \frac{108520}{4}=27130мм 2 .

При этом стандартное отклонение по выборке равно \sqrt{27130} = 165мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

\frac{4+4-4-4}{4}=0.

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

\frac{4+4+|-4|+|-4|}{4} = \frac{4+4+4+4}{4}=4.

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

Читайте также:  Обществознание повторение 5 6 классы подготовка к ВПР 6

\frac{7+1+|-6|+|-2|}{4} = \frac{7+1+6+2}{4}=4.

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

\sqrt{\frac{4^2+4^2+(-4)^2+(-4)^2}{4}}=4.

Для второго примера получится:

\sqrt{\frac{7^2+1^2+(-6)^2+(-2)^2}{4}}=4.74.

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал репетитор по математике в Москве, Сергей Валерьевич

Источник



Первичная обработка статистических данных. Практическое пособие, страница 25

Таким образом, выборочное стандартное отклонение равно квадратному корню из выборочной дисперсии, следовательно, справедливы формулы:

Пример 2.21 В течение пяти дней студент Ковалев записывал стоимость обедов в студенческой столовой: 3,2; 4,8; 5,6; 4,5; 5,4. Найдем выборочную дисперсию и стандартное отклонение.

Сначала определим среднее:

Найдем стандартное отклонение:

Округлим полученное значение: S = 0,95 условных рублей.

Определение 2.14 Выборочной дисперсией вариационного ряда x1, x2, …, xn с соответствующими частотами

соответственно, при малом и большом значении n,где

Пример 2.22 Для социологического исследования были собраны данные о количественном составе 20 семей, приведенные в следующей таблице.

Таблица 2.16 Количественный состав семей

Найдем среднее, дисперсию и стандартное отклонение:

n = 2 + 3 + 8 + 5 + 1 + 1 = 20;

Округлим S 2 = 1,50 и S = 1,23. Итак, – это среднее число членов семьи, S = 1,23 – это стандартное отклонение от среднего.

Определение 2.15 Выборочной дисперсией статистического ряда, состоящего из k интервалов с соответствующими интервальными средними и интервальными частотами

соответственно, при малом и большом значении n, где

Пример 2.23 Результаты экзамена по высшей математике пятидесяти студентов представлены следующим статистическим рядом. Используется десятибалльная система оценок. Найдем среднее и стандартное отклонение.

Таблица 2.17 – Итоги экзамена по высшей математике

Найдем интервальные средние:

Найдем дисперсию данной выборки:

Итак, средняя оценка студентов I курса составляет 5,6 баллов. Стандартное отклонение баллов показывает, что оценки большинства студентов отличаются от среднего не более, чем на 2,26 баллов.

Таким образом, для вычисления выборочной дисперсии необходимо найти значение среднего , вычислить сумму квадратов отклонений выборочный значений от среднего и разделить ее на n – 1, где n – число всех наблюдений. Извлечение квадратного корня при нахождении стандартного отклонения возвращает к первоначальному масштабу единицы измерения.

Обработка и анализ статических данных требует кропотливой и нелегкой вычислительной работы. Для организации вычислений в математической статистике часто используются специальные таблицы.

Пример 2.24 Найдем среднее и стандартное отклонение для статистического ряда из примера 1.4 о высоте городских зданий. Все необходимые вычисления будем записывать в таблицу 2.18.

Из таблицы 2.18 берем необходимые промежуточные результаты:

Итак, среднее высоты зданий равно 27,12 метров, а стандартное отклонение равно 9,96 метров.

Таблица 2.18 – Вычисление среднего и стандартного отклонения высоты зданий

Источник

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.

Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.

Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).

Стандартное отклонение также называется:

  • среднеквадратическое отклонение,
  • среднее квадратическое отклонение,
  • среднеквадратичное отклонение,
  • квадратичное отклонение,
  • стандартный разброс.

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

  • в финансах в качестве меры волатильности,
  • в социологии в опросах общественного мнения — оно помогает в расчёте погрешности.

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

День 1 День 2 День 3 День 4
Пред.А 19 21 19 21
Пред.Б 15 26 15 24

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

  • А -> (19 + 21 + 19+ 21) / 4 = 20
  • Б -> (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

  • в компании A количество товара всех четырёх дней очень близко находится к этому среднему значению 20 (колеблется лишь между 19 ед. и 21 ед.),
  • в компании Б существует большая разница со средним количеством товара (колеблется между 15 ед. и 26 ед.).

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

  • стандартное отклонение компании A = 1,
  • стандартное отклонение компании Б ≈ 5.

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение формула, среднее квадратичное отклонение формула, среднеквадратическое отклонение формула, среднее квадратическое отклонение формула

Где:
σ — стандартное отклонение,
xi — величина отдельного значения выборки,
μ — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.
Эта формула применяется, когда анализируются все значения выборки.

стандартное отклонение формула, среднее квадратичное отклонение формула, среднеквадратическое отклонение формула, среднее квадратическое отклонение формула

Где:
S — стандартное отклонение,
n — размер выборки,
xi — величина отдельного значения выборки,
xср — среднее арифметическое выборки.
Эта формула применяется, когда присутствует очень большой размер выборки, поэтому на анализ обычно берётся только её часть.
Единственная разница с предыдущей формулой: “n — 1” вместо “n”, и обозначение «xср» вместо «μ».

Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

  • только её часть – используется формула S (с «n–1»),
  • полностью все данные – используется формула σ (с «n»).

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

День 1 День 2 День 3 День 4
Пред.Б 15 26 15 24

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение формула, среднее квадратичное отклонение формула, среднеквадратическое отклонение формула, среднее квадратическое отклонение формула

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

x1 — μ = 15 — 20 = -5

x2 — μ = 26 — 20 = 6

x3 — μ = 15 — 20 = -5

x4 — μ = 24 — 20 = 4

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (xi — μ)² = 25 + 36+ 25+ 16 = 102

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

(Σ (xi — μ)²)/n = 102 / 4 = 25,5

6. Найти квадратный корень:

√((Σ (xi — μ)²)/n) = √ 25,5 ≈ 5,0498

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Яблоня 1 Яблоня 2 Яблоня 3 Яблоня 4 Яблоня 5 Яблоня 6
9 2 5 4 12 7

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

стандартное отклонение формула, среднее квадратичное отклонение формула, среднеквадратическое отклонение формула, среднее квадратическое отклонение формула

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

(X1 – Xср)² = (2,5)² = 6,25

(X2 – Xср)² = (–4,5)² = 20,25

(X3 – Xср)² = (–1,5)² = 2,25

(X4 – Xср)² = (–2,5)² = 6,25

(X5 – Xср)² = 5,5² = 30,25

(X6 – Xср)² = 0,5² = 0,25

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:

  1. Вычесть среднее значение из каждого числа
  2. Возвести каждый результат в квадрат (так получатся квадраты разностей)
  3. Найти среднее значение квадратов разностей.

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Дисперсия и стандартное отклонение расчёт дисперсии формула

Где:
S² — выборочная дисперсия,
Xi — величина отдельного значения выборки,
Xср (может появляться как X̅) — среднее арифметическое выборки,
n — размер выборки.

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Правило трёх сигм

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

  • одного среднеквадратического отклонения заключаются 68,26% значений (Xср ± 1σ или μ ± 1σ),
  • двух стандартных отклонений — 95,44% (Xср ± 2σ или μ ± 2σ),
  • трёх стандартных отклонений — 99,72% (Xср ± 3σ или μ ± 3σ).

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение в эксель excel

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение в эксель excel

5. Нажмите Ввод (Enter).

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение в эксель excel

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение в эксель excel

Формулы вычисления стандартного отклонения sigma сигма стандартное отклонение в эксель excel

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Источник

Тема 3. Дисперсия. Стандартное отклонение. Стандартная ошибка среднего. Доверительный интервал.

Дисперсия(variance), — мера рассеяния, полученная суммированием квадратов индивидуальных отклонений с последующим делением суммы на объем совокупности.

Дисперсия генеральной совокупности обозначается σ 2 ( выборочной s 2 ) и вычисляется по формуле:

Стандартное отклонение (standard deviation,) отражает изменчивость (разброс, вариацию) значений переменной и оценивает степень их отличия от среднего Стандартное ( среднее квадратическое ) отклонение — мера рассеяния равная корню квадратному из дисперсии. Оно рассчитывается на основании вычисленного показателя рассеяния данных, называемого дисперсией (variance), путем извлечения из него квадратного корня, в связи с чем в отечественной литературе его также называют «среднеквадратичным отклонением». Стандартное отклонение генеральной совокупности обозначается символом σ (сигма), а SD выборочной совокупности( s ) и вычисляется по формуле:

Стандартное отклонение может меняться непредсказуемо, т.е. расти или уменьшаться с увеличением размера выборки, однако обычно не слишком сильно. В статистике есть понятие «правила трех сигма». Оно гласит, что практически все наблюдения укладываются в интервал «среднее ± 3σ». Действительно, в интервал «± 3σ» попадают 99,7% наблюдений, ± 2σ включает 95,4%, а ± 1σ – всего 68,3% всех наблюдений. Это правило подходит для расширенны рукописный вариант различных распределений, включая нормальное.

Стандартная ошибка (среднего) (англ. standard error, SE, иногда standard error mean, SEM) является оценкой возможного отличия между значением среднего в анализируемой выборке, и истинным средним для всей популяции (которое на самом деле не может быть определено без анализа бесконечно большого числа наблюдений). Стандартная ошибка рассчитывается путем деления стандартного отклонения на квадратный корень из числа наблюдений в выборке и, следовательно, ее значение уменьшается с ростом размера выборки. Формула; γ ═ .Это уменьшение является естественным, поскольку чем больше имеется наблюдений, тем больше вероятность, что рассчитанное среднее приближается к истинному.

Доверительный интервал (англ. confidence interval, CI) – диапазон значений, область, в которой с определенным уровнем надежности (или доверия) содержится истинное значение параметра (например, среднего). 90%-ный доверительный интервал означает, что истинное значение величины попадет в рассчитанный интервал с вероятностью 90%. В биомедицинских исследованиях доверительный интервал среднего обычно устанавливается на уровне 95% и определяется как ±1,96 стандартной ошибки (коэффициент 1,96 вытекает из предположения о нормальности распределения значения переменной при условии, что выборка достаточно велика). Для примера, если значение среднего систолического давления в исследованной группе составляет 125 мм рт.ст., а стандартная ошибка 5 мм рт.ст., то при 95% доверительном интервале границы диапазона значений среднего будут 115,2 и 134,8 мм рт.ст. (что составляет ± 9,8 (5 х 1,96) мм рт.ст. в обе стороны от значения среднего).

Источник