Пример расчета t критерия Стьюдента для независимых выборок

Задача

В результате случайной выборки взяты 309 проб молока на жирность. При этом получены следующие данные:

Средний процент жира в молоке

Число проб молока

Всего:

309

Определите:

1. Средний процент жира в молоке и среднее квадратическое отклонение в данной выборочной совокупности; коэффициент вариации.

2. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и величину генеральной средней.

3. Величину средней ошибки выборочной совокупности, если объём выборки, т. е. количество проб молока, будет доведен до 1296 (при неизменном среднем квадратическом отклонении).

Решение

Средний процент жира в молоке определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

Средний процент жира равен:

Дисперсия вариационного ряда определяется по формуле:

Среднеквадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

Коэффициент вариации равен отношению среднеквадратического отклонения к среднему значению:

Вывод: низкое значение коэффициента вариации говорит о количественной однородности совокупности.

Средняя ошибка выборки при случайном отборе определяется по формуле:

где: S 2 – выборочная дисперсия;
n – объем выборки.

Средняя ошибка выборки равна:

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

где: t – коэффициент доверия, для вероятности 0,997 равный 3.

Предельная ошибка выборки равна:

Доверительный интервал для среднего:

Вывод: генеральное среднее значение процента жира в молоке находится в пределах от 3,478% до 3,585%.

Если объем выборки будет доведен до 1296 проб молока, то величина средней ошибки выборки составит:

Вывод: увеличение объема выборки снижает среднюю ошибку, т.е. с ростом выборки измерения становятся точнее.

Источник

Примеры решения типовых задач

Пример 1.При проведении измерительного эксперимента получены следующие значения величины: 11,65; 11,41; 11,57; 11,60; 11,50; 11,55; 11,58; 11,58; 11,61; 11,63. Требуется проанализировать полученные результаты наблюдений в целях выявления грубых погрешностей, используя критерий Диксона.

1. Располагаем результаты наблюдений в вариационный возрастающий ряд:

2. Записываем используемую для расчета формулу критерия Диксона:

3. Подставляем в формулу данные нашего эксперимента и рассчитываем Кд:

4. Зададимся значением q=0,10 (десятипроцентным уровнем значимости).

5. Используя табличные данные, выявим критическую область для рассчитанного критерия Кд.

Согласно таблице 2 приложения 3 при n=10 и q=0,15, zдикс =0,35.

Ответ.Полученный ряд результатов наблюдений не имеет в своем составе грубых погрешностей даже при q=0,1. Дальнейшей обработке будет подвергаться весь массив данных.

Пример 2. В процессе контроля были получены следующие результаты измерительных наблюдений за одним из показателей качества: 9,47; 9,49; 9,40; 9,61; 9,39; 9,41; 9,43; 9,49; 9,46; 9,42. Используя критерий Романовского выявить наличие промахов.

1. Располагаем результаты в вариационный возрастающий ряд: 9,39<9,40<9,41<9,42<9,43<9,46<9,47<9,49<9,49<9,61.

2. Выявляем результат, вызывающий сомнение:

Результат 9,61 вызывает сомнение, так как резко отличается от всех остальных (хi=9,61).

3. Запишем основную расчетную формулу:

При расчете результат хi=9,61 все принимаем во внимание.

4. Вычисляем среднее арифметическое без учета сомнительного варианта

5. Находим среднеквадратическое отклонение среднего арифметического результата наблюдения по формуле

Разность хi Квадрат разности
х1— =9,39-9,44=-0,05 0,0025 0,0118
х2— =9,40-9,44=-0,04 0,0016
х3— =9,41-9,44=-0,03 0,0009
х4— =9,42-9,44=-0,02 0,0004
х5— =9,43-9,44=-0,01 0,0001
х6— =9,46-9,44=0,02 0,0004
х7— =9,47-9,44=0,03 0,0009
х8— =9,49-9,44=0,05 0,0025
х9— =9,49-9,44=0,05 0,0025

Определяем число степеней свободы f=n-1=9-1=8

Рассчитываем стандартное отклонение:

6. Подставляем полученные расчетные данные в основную формулу (14):

7. Находим табличное значение критерия Романовского для n =10 и принятого уровня значимости q=0,1: =2,29.

8. Вывод: рассчитанное значение .

Ответ:Так как сомнительный результат наблюдения равный 9,61 является грубой погрешностью и в дальнейшей обработке полученных данных не используется.

Пример 3. Некоторую физическую величину измерили двумя независимыми способами. По первому способу получили результаты:38.20,38.00,37.66; по второму – 37.70,37.65,37.55. Значимо ли различаются результаты данных измерений?

1. По формуле (6) рассчитаем среднее арифметическое значение для каждого способа:

2. Рассчитаем дисперсии по формуле (8):

3. Проведем сравнение точности обоих методов, используя F-распределение:

Полученные значения Fэксп, сопоставляем с табличным (таблица 6, приложения 3) значением F распределения при р=0.95 и числах степеней свободы f 1 =2 и f 2 =2.

Так как F табл= 19.00> F эксп=12.78, то расхождение между дисперсиями незначимо и, следовательно, способ измерения физической величины одинаковой точности.

С помощью t-критерия оцениваем расхождение между . Среднее взвешенное двух дисперсий и t-критерий рассчитываем по формулам

Сопоставляем полученное значение t эксп с табличными t 0.95;4 = 2,776 (при р= 0,95 и f = 3+3-2=4). Так как t эксп =1.96 < t 0.95;4 = 2,776, то различие между незначимо. Следовательно, все результаты обоих измерений отражают истинное значение физической величины.

Читайте также:  Немецкая классическая философия общая характеристика особенности и направления

Поэтому данные измерения могут быть представлены в виде

где – среднее арифметическое из всех n1+n2 результатов:

4. Вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое) по формуле (1):

Определим среднее квадратическое отклонение S по формуле (9):

Рассчитаем доверительные границы действительного значения результата измерения, исходя из данных наблюдений, полученных обоими способами, по формуле (15). Для расчета необходимое значение t0,95;5 находим по таблице (см. приложение 3, табл. 1)

Ответ. Результат измерений физической величины, рассчитанный по данным наблюдений полученных двумя способами, записываем следующим образом: 37.79 ±0.26.

Пример 4. При измерении некоторой величины были получены следующие результаты: 1.31, 1.45,1.42,1.32, 1.30. Опорное значение этой величины Хоп = 1,47.

Определить стандартное отклонение S, точность измерений 0.95 ( ,%) и сделать вывод о наличии систематической ошибки в использовании данного метода измерения.

1. По формуле (6) вычисляем среднее значение измерений (среднее арифметическое):

2.По формуле (9) вычисляем стандартное отклонение S:

3.По формуле (15) рассчитываем доверительные границы случайной составляющей погрешности результата измерения. Значение коэффициента Стьюдента находим из таблицы (см. приложение 3, табл.1).

4. Покажем доверительный интервал действительного значения величины:

5. Точность метода обычно выражают в форме относительной погрешности, которая рассчитывается по формуле (22)

Ответ. Данный метод измерения НКПРП имеет систематическую погрешность, так как опорное значение Хоп = 1,47 не попадает в доверительный интервал 1,27 1,45. Точность измерения является очень низкой для данного метода.

Пример 5. Определить, существует ли значимое различие между выборочной средней величиной при определении НКПРП пыли обращающейся в производстве, если при отборе проб следующие результаты: 2.10, 2.12, 2.13, 2.15, 2.15 и средней генеральной совокупностью (для n=80) m=2.15 г/м 3 .

1.Среднее арифметическое значение вычисляем по формуле (6):

2.Стандартное отклонение отдельного определения вычисляем по формуле (9):

3.Из формулы (15) находим значение величины t:

Из таблицы значений коэффициента Стьюдента (смотри таблицу 1 приложения 3) для f=4 и p=0,95, tр,f=2,78, что больше рассчитанного из формулы (15) 2,11.

Ответ. Следовательно, средняя величина не отличается значимо от средней m генеральной совокупности.

Пример 6. При определении коэффициента теплопроводности газобетона были получены результаты: 8.0×10 –4 Вт/м о С и 8.4×10 –4 Вт/м о С. Чему равна точность изменения (eр и D) коэффициента теплопроводности? Сколько параллельных измерений необходимо провести для достижения относительной точности 5%? Оправдано ли будет применение этого способа измерения для достижения такой точности?

1. По формуле (6) находим среднее арифметическое значение:

2.Стандартное отклонение единичного результата вычисляем по формуле (9):

По таблице 1 приложения 3 находим для р=0.95 и f=2-1=1 tр,f=12.7 и по формуле (15) вычисляем точность метода:

3. Определяем относительную точность измерения по формуле (22):

Если необходимо получить D=5%, то

Если принять n=4, то t=2.90. Исходя из данных таблице 1 (см. приложение 3) для р=0.95 и f=4–1=3 tр,f=3.18, что не обеспечивает точности 5%. Если принять n=5, то t=3.24. По таблице 1 (см. приложение 3) для р=0.95 и f=5–1=4 tр,f=2.78, что меньше рассчитанного t=3.24. Следовательно, при n=5 величина t=3.24 дает большую вероятность, чем 0.95.

Ответ. Для достижения относительной погрешности 5% необходимо провести 5 измерений. Так как n<8 (n=5), то можно считать, что данный метод вполне оправдан для достижения точности 5%.

Пример построения гистограммы и проверка гипотезы о распределении случайной величины

Даны 98 независимых равноточных измерений некоторой физической величины:

120.13 120.76 119.39 118.88 121.11 121.66 119.58

118.49 119.00 119.18 120.90 120.53 121.92 119.76

121.19 121.35 120.16 119.31 121.25 119.96 120.84

117.17 120.82 119.59 120.57 119.67 119.92 120.51

121.76 121.31 119.61 119.62 120.59 119.00 119.85

119.95 119.43 121.07 121.84 122.21 120.20 119.56

119.37 119.34 120.89 120.06 119.95 121.47 119.65

119.90 119.75 120.50 119.99 119.54 120.87 120.25

119.55 119.01 120.03 120.71 120.10 118.73 120.90

120.31 119.83 121.46 122.21 118.40 119.36 120.86

119.72 119.22 119.91 120.62 120.63 119.56 120.07

121.68 120.80 120.16 119.92 121.03 120.17 119.43

119.85 120.52 120.45 119.57 121.11 120.06 120.02

121.64 119.91 119.42 119.31 121.39 120.06 119.55

Читайте также:  Как применять теорию на практике

1. При уровне значимости 0.05 исследовать предложенную выборку на однородность. Исключить все грубые ошибки с вероятностью 1–q. Найти среднее значение и эмпирический стандарт S полученной однородной выборки.

2. Сгруппировать однородную выборку по интервалам, построить гистограмму относительных частот, сформировать гипотезу о виде распределения случайной величины Х.

3. Проверить гистограмму о распределении величины Х по критерию согласия Пирсона, установить вероятность р, с которой высказанная гипотеза не согласуется с истинным распределением. Если р<0.50, то данную гипотезу не отвергать, остановиться на данном виде распределения и перейти к пункту 4. Если р>0.50, то выбрать другой закон распределения и снова применить к нему критерий согласия Пирсона. Если при исследовании гипотез о трех различных распределениях (нормальном, логарифмическом и распределении Вейбулла) вероятность несогласования р>0.50, то выбрать лучшее по вероятности распределения.

4. Найти доверительный интервал для математического ожидания M(X)=m и среднего квадратичного отклонения s(X)=s, если задан уровень значимости q, полученной в пункте 3 при выборе распределения величины Х.

1. Исследуем данную выборку на однородность. Для этого все результаты измерений расположим в порядке возрастания. Результат запишем в виде табл. 1.

По условию требуется проверить, не содержит ли данная выборка грубых ошибок на уровне значимости 0.05, то есть из выборки следует исключить те хi, которые с вероятностью 1–q=0.95.

Найдем критическое значение числа

с которым будем сравнивать максимальное отклонение t(xi). Нанесем на ось все значения из табл. 6.1.

Табл. 6.1. Экспериментальные значения величины Х

I xi i xi i xi i xi
117.17 118.40 118.49 118.73 118.88 119.00 119.00 119.01 119.18 119.22 119.31 119.34 119.35 119.36 119.37 119.37 119.39 119.42 119.43 119.43 119.54 119.55 119.55 119.56 119.56 119.57 119.58 119.59 119.61 119.62 119.65 119.72 119.75 119.76 119.83 119.85 119.85 119.90 119.91 119.91 119.92 119.92 119.95 119.95 119.96 119.99 120.02 120.03 120.06 120.06 120.06 120.07 120.10 120.13 120.16 120.16 120.17 120.20 120.25 120.31 120.45 120.50 120.51 120.52 120.53 120.57 120.59 120.62 120.63 120.71 120.76 120.80 120.82 120.84 120.86 120.87 120.89 120.90 120.90 121.03 121.07 121.11 121.11 121.19 121.25 121.31 121.35 121.39 121.46 121.47 121.64 121.66 121.68 121.76 121.84 121.92 122.21 122.21

Рис. 6.1. Распределение случайной величины

Как можно видеть из рис. 6.1, наиболее густо точки расположены в интервале [119, 122]. Значение x1=117.17 резко отличается от интервала [119, 122], что может служить косвенным подтверждением того, что величина x1 является грубой ошибкой. Остальные значения xi не вызывают особых подозрений, поэтому мы исследуем дополнительно крайние точки x1, x2, x97 и x98.

Временно отбросив указанные значения, подсчитаем среднее арифметическое значение и эмпирический стандарт:

Источник

Пример расчета t-критерия Стьюдента для независимых выборок

Предположим, что надо сравнить между собой результаты выполнения тестов на внимание в двух группах. Чтобы узнать различаются ли группы между собой необходимо вычислить t-критерий Стьюдента для независимых выборок.

1. Внесем данные по группам в таблицу:

Результаты группы №1 (сек.) Результаты группы №2 (сек.)
1 30 46
2 45 49
3 41 52
4 38 55
5 34 56
6 36 40
7 31 47
8 30 51
9 49 58
10 50 46
11 51 46
12 46 56
13 41 53
14 37 57
15 36 44
16 34 42
17 33 40
18 49 58
19 32 54
20 46 53
21 41 51
22 44 57
23 38 56
24 50 44
25 37 42
26 39 49
27 40 50
28 46 55
29 42 43

Шаг 2. Проверить распределения на нормальность.

Шаг 3. Рассчитать среднее арифметическое, стандартное отклонение и количество человек в каждой группе.

Шаг 5. Вычисляем степени свободы.

Значение 6,09 больше чем значение 3,473 следовательно уровень значимости меньше 0,001

Шаг 7. Если уровень значимости меньше 0,05 делается вывод о наличи различий между группами. Таким образом между двумя группами есть различия в скорости выполнения тестов на внимание.

Рассчитайте критерий Т-Стьюдента за 5 минут Онлайн сервис расчета статистики Провести расчеты

Источник

Получены следующие результаты перевод

31. Бифакторный анализ разработан
Холзингеpом

32. В большинстве случаев выборки будут давать величину стандартной ошибки коэффициента корреляции:
от -0,33 до +0,33

Читайте также:  Контроллинг затрат цели задачи и принципы

33. В дисперсионном анализе переменные второго рода считаются:
признаками

34. В дисперсионном анализе переменные первого рода считаются:
факторами

35. В результате тестирования в группе были получены следующие результаты: 24, 23, 26, 28, 27, 25, 26. Мода в данной выборке будет:
26

36. В результате тестирования в группе были получены следующие результаты: 25, 23, 26, 28, 27, 25, 26, 25, 25. Медиана для данной выборки будет:
5

37. В результате тестирования в группе были получены следующие результаты: 25, 23, 26, 28, 27, 25, 26, 25, 25. Стандартное отклонение для данной выборки будет:
1,5

38. В результате тестирования в группе были получены следующие результаты: 25, 23, 26, 28, 27, 25, 26. Среднее арифметическое для данной выборки будет:
26

39. В случае, когда исследуется влияние какого-либо фактора на средние значения изучаемой переменной, используется анализ:
дисперсионный

40. В случае, когда обе переменные дихотомические, основанные на нормальных распределениях, используется коэффициент корреляции:
rtet — тетрахорический

41. В факторном анализе рассматривают латентные структуры, имеющие в своем составе только факторы:
общие и специфические

42. Вариант биноминального распределения для случаев, когда вероятность альтернативных признаков неодинакова, один из них наблюдается чаще других, называется распределением
Пуассона

43. Величина r (AjAj) в уравнении r (AjAj) = называется:
запасом общей изменчивости

44. Величина коэффициента корреляции колеблется в пределах от:
-1 до 1

45. Величина, которую можно непосредственно или косвенно измерить, называется:
явной переменной

Источник



получать результат

Although quite different results from the dimerization of isobutylene are realized (or obtained),.

2 получать результат

3 получать результат

4 получать результат

Научные результаты настоящей работы получены при выполнении проекта №14 — The scientific results of the present work were obtained during implementation of Project No. 14

5 получать отрицательный результат

6 получать отрицательный результат

См. также в других словарях:

результат — давать положительные результаты • существование / создание давать результат • существование / создание давать хорошие результаты • существование / создание дать положительный результат • существование / создание дать результат • существование /… … Глагольной сочетаемости непредметных имён

результат — ▲ состояние ↑ обусловленный, явление результат состояние, вызванное чем л; окончательная ситуация (давать #. приводить к какому результату). итог (# развития). последствие (последствия не замедлили сказаться. иметь дело с последствиями). далеко… … Идеографический словарь русского языка

ИГРА С ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ — модель конфликтной ситуации при фиксированной последовательности ходов и обмена информацией участников. Основным объектом исследования в теории И. с и. с. является задача об отыскании наибольшего гарантированного результата и оптимальной… … Математическая энциклопедия

PL/pgSQL — (Procedural Language/PostGres Structured Query Language процедурное расширение языка СУБД добавляет управляющие конструкции к стандарту SQL; допускает сложные вычисления; может использовать все объекты БД, определенные пользователем; прост в… … Википедия

Тигипко, Сергей Леонидович — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей … Википедия

Калькулятор (Windows) — У этого термина существуют и другие значения, см. Калькулятор (значения). Калькулятор Компонент Microsoft Win … Википедия

Калькулятор Windows — Калькулятор Скриншот Обычного режима Калькулятора в Windows XP Тип Калькулятор Разработчик ОС Microsoft Windows Версия 6.0.6001.18000 4 февраля 2008 … Википедия

Отверждение — Отверждение  действие, в результате которого происходит необратимое превращение жидких реакционноспособных олигомеров и(или) мономеров в твердые неплавкие и нерастворимые сетчатые полимеры. Процесс отверждения протекает с участием… … Википедия

Грюндерство — (Gryunderstvo) Понятие грюндерства История формирования грюндерства Содержание Содержание Раздел 1. Понятие . Грюндерство – это массовое неупорядоченное учредительство акционерных обществ, банков, страховых компаний, сопровождаемое обширной … Энциклопедия инвестора

знание — результат процесса познания действительности, получивший подтверждение в практике; адекватное отражение объективной реальности в сознании человека (представления, понятия, суждения, теории). 3. фиксируется в знаках естественных и искусственных… … Словарь терминов логики

Безработица — (Unemployment) Безработица – это такое социально экономическое явление, при котором часть взрослого трудоспособного населения, не имеет работы и активно ее ищет Безработица в России, Китае, Японии, США и странах Еврозоны, в том числе в кризисные… … Энциклопедия инвестора

Источник