Свойства прямоугольного треугольника

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$

6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√<91>$. Найдите косинус внешнего угла при вершине $В$.

Так как внешний угол $АВD$ при вершине $В$ и угол $АВС$ смежные, то

Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Следовательно, для угла $АВС$:

Катет $ВС$ мы можем найти по теореме Пифагора:

Подставим найденное значение в формулу косинуса

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $sin⁡A=<4>/<5>, AC=9$. Найдите $АВ$.

Распишем синус угла $А$ по определению:

Так как мы знаем длину катета $АС$ и он не участвует в записи синуса угла $А$, то можем $ВС$ и $АВ$ взять за части $4х$ и $5х$ соответственно.

Применим теорему Пифагора, чтобы отыскать $«х»$

Так как длина $АВ$ составляет пять частей, то $3∙5=15$

В прямоугольном треугольнике с прямым углом $С$ и высотой $СD$:

Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.

В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

Источник

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

Свойства прямоугольного треугольника

  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

  1. по катетам;
  2. по катету и прилежащему острому углу;
  3. по гипотенузе и острому углу;
  4. по гипотенузе и катету.

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.

Источник

Тест по теме: «Прямоугольный треугольник»

Описание Вопросы данного теста затрагивают такие темы геометрии 7 класса, как «элементы прямоугольного треугольника», «свойства прямоугольного треугольника», «признаки прямоугольного треугольника». Дополнительно затрагиваются темы: «внешний угол треугольника», «соотношение сторон и углов треугольника», «сумма углов треугольника». Первая часть «кроссворд», помогает настроить детей на предстоящий тест. Кроссворд разгадывается коллективно и ответы детей в этом случае не учитываются при выставлении итоговой оценки. Для вывода на экран вопроса необходимо нажать на символ «?», для вывода на экран ответа на символ «!». Для того что бы убрать текст вопроса нажимаем повторно на символ «?». Основная часть содержит 8 вопросов. Задания представлены в различных формах, подсказки к записи ответа располагаются внизу слайда. Каждый правильный ответ оценивается в один балл. Правильные ответы и критерий оценивания представлены на последних слайдах. Данный тест предлагается проводить в виде математического диктант на уроке геометрия со взаимо-проверкой учащихся и рассчитан на 15 минут.

Кроссворд * Результаты кроссворда не учитываются при итоговой оценке ? ? ? ? ? ? ? ? ? ! ! ! ! ! ! ! ! ! Д В Я Е Н О С Т О К А Т Е Т И М Ы Н В А Р А Т О С Ы В О А З У Н Е Т П И Г Ы М Н Н Е Р Д Е Б О Н Р А В К И Н У Л О Ь Г Е Р Т Ш Е Н В И Й Н С О Е Ы Р Т Угол треугольника, равный сумме двух других, не смежных с ним. В прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два других … Геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющие три точки, не лежащие на одной прямой. Две фигуры, которые при наложение совпадают, называются … Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне или ее продолжению. Прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен 45°, является … Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла. Сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. Прямой угол равен … градусов.

№1 Сколько прямоугольных треугольников на рисунке? Вариант 1 Вариант 2 Ответ: записать количество Δ

№2 Выписать все возможные прямоугольные треугольники Вариант 1 Вариант 2 Ответ: Δ. Δ…., …. А С В O P T S Z Y X 60° 60° 45° 45° I G F K H M L N R W

№3 Поставьте соответствия между элементами и их характеристиками Вариант 1 Вариант 2 Ответ: A-…, B-…, C-…? A) AB 1) Больший катет B) BC 2) Гипотенуза C) CA 3) Меньший катет A) AB 1) Наибольшая сторона B) BC 2) Катет, прилежащий к углу А C) CA 3) Катет, противолежащий углу А A C B 47°

№4 Поставьте соответствия между элементами и их характеристиками Вариант 1 Вариант 2 Ответ: A-…, B-…, C-…? A) ∠ K 1) Острый угол, противолежащий КL B) ∠ L 2) Острый угол, прилежащий к КL C) ∠ M 3) Наибольший угол A) ∠ K 1) Наибольший острый угол B) ∠ L 2) Прямой угол C) ∠ M 3) Наименьший острый угол L M K 10 см 7 см

№5 Найдите неверное выражение, исправьте ошибку Вариант 1 Вариант 2 Ответ: записать выражение содержащее ошибку после исправления XY>YZ, XY<XZ, XY=XZ XZ>YZ, YZ=2XZ, YZ=6,5 см Z Y 13 см X 60°

№6 Найдите и исправьте ошибки Вариант 1 Вариант 2 Ответ: записать выражения содержащие ошибку после исправления ST=2TR, SR<TR, ∠T=30° ∠T=30°, ∠S=60°, TR=ST T R 26 см S 13 см

№7 Выберите номер под которым прямоугольные треугольники равны …. Вариант 1 Вариант 2 Ответ: записать № по гипотенузе и катету по гипотенузе острому углу 1 2 3

№8 Записать по каким элементам равны … Вариант 1 Вариант 2 Ответ: записать элементы по которым равны Δ ΔKRM и ΔRLN K L R M N B ΔADE и ΔFMB E M D F C A

Ответы Вариант 1 Вариант 2 1 6 2 ΔABC, ΔSTO, ΔSOP 3 A-1, B-3, C-2 4 A-2, B-3, C-1 5 ZY=XZ 6 SR>TR, ∠S=30° (∠T=60°) 7 3 8 По гипотенузе и острому углу 1 6 2 ΔABC, ΔSTO, ΔSOP 3 A-1, B-3, C-2 4 A-2, B-3, C-1 5 6 SR>TR, ∠S=30° (∠T=60°) 7 3 8 По гипотенузе и острому углу 1 8 2 ΔWRN, ΔKHL, ΔHLM, ΔGFI 3 A-2, B-3, C-1 4 A-3, B-2, C-1 5 YZ=XZ 6 ∠S=30° , ∠T=60° 7 8 По гипотенузе и острому углу 1 8 2 ΔWRN, ΔKHL, ΔHLM, ΔGFI 3 A-2, B-3, C-1 4 A-3, B-2, C-1 5 6 ∠S=30° , ∠T=60° 7 8 По гипотенузе и острому углу

Источник

Тест. Тест «Прямоугольный треугольник»

Выберите верную формулировку определения прямоугольного треугольника:

Варианты ответов
  • Треугольник, у которого только два острых угла
  • Треугольник с прямыми сторонами
  • Треугольник, у которого один угол прямой,а два других острые
Вопрос 2

Верно ли, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180°?

Варианты ответов
  • да,это верно
  • нет, их сумма равна другому числу
  • их сумма составляет 360 градусов
Вопрос 3

Как называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу?

Вопрос 4

Если острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, то…

Варианты ответов
  • катет равен половине гипотенузы
  • гипотенуза больше катета
  • катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы
Вопрос 5

Что можно сказать о двух прямоугольных треугольниках, у которых равны соответствующие катеты?

Варианты ответов
  • они одинаковы
  • они не равны
  • они равны
Вопрос 6

В треугольнике АВС с прямым углом С ∟ВАС = 30°, АВ = 36 см . Найдите длину катета ВС .

Выберите верный ответ.

Варианты ответов
  • 36 см
  • 18 см
  • 72 см
Вопрос 7

На рисунке изображен треугольник АВС, ∟ АВС = 42°

Найдите градусную меру угла BAС.

Варианты ответов
  • 42
  • 48
  • 138
  • 90
Вопрос 8

В равнобедренном треугольнике AC D с основанием АD проведена высота С F , из точки F на сторону A С опущен перпендикуляр FВ.

Найдите длину перпендикуляра FВ, если ∟F СD = 30 ° , а высота СF = 4 см

Варианты ответов
  • 4 см
  • 2 см
  • 8 см
Вопрос 9

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена высота АD.

Найдите величины углов В и С, если

боковая сторона треугольника АС=7 см, а СD=3,5 см

Варианты ответов
  • 30
  • 90
  • 60
Вопрос 10

В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 18 см. Определите высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла.

Источник



«Решение прямоугольных треугольников».

1) Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов:

2) Как называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая острому углу?

а) основание;     б) катет;   в) гипотенуза;    г) медиана.

3) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине …

4) В прямоугольном треугольнике АВС , угол С прямой, АС = 2 см, ВС= 2. Найдите угол В.

5)   Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются .

6)   В треугольнике АВС      С = 90 °,      В = 30°, АВ = 6 см.

Найдите длину катета АС.

(Вопросы 7 – 8 установить соответствие)

7) Восстановите формулы:

8) В прямоугольном треугольнике АВС , угол С = 90 о , катеты ВС = 8 см,     АС = 15 см. Найдите:

8 / 17

8 / 15

17 / 15

15 / 17

15 / 7

9) В прямоугольном треугольнике АВС , угол С прямой, cоs β = . Найдите sin β,   tg β.

10) Найдите неизвестные стороны и углы прямоугольного треугольника, если его катеты равны 10 и 10√3 см.

Вариант 2

(Вопросы 1 – 6 выбрать один правильный вариант ответа)

1) Прямоугольный треугольник, это треугольник, у которого:

а) только два острых угла;

б) один угол прямой, а два других острые;

в) все углы прямые;

г) треугольник с прямыми сторонами.

2)   Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется …

3) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен…

4) В прямоугольном треугольнике МКТ угол Т= 90 о , МТ = 7 см, КТ= 7 см. Найдите угол К.

5)   Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна …

6)   В треугольнике АВС      С = 90 °,      А = 30°, ВС = 6 см.

Источник

Читайте также:  Качественные и количественные методы исследований